Вопросы по курсу «Алгебра и геометрия»
I курс (I семестр) 2010 – 2011 учебный год
для студентов групп 1011, 1012, 1013, 1014
Раздел I. Линейная алгебра.
1. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих операций.
2. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Умножение матриц и транспонирование матриц. Свойства этих операций.
3. Определители второго и третьего порядков. Понятие определителя n-го порядка. Общая формула.
4. Свойства определителей.
5. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Способы вычисления определителей.
6. Обратная матрица.
7. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов.
8. Ранг матрицы. Способы вычисления. Теорема о ранге матрицы. Метод окаймляющих миноров.
9. Ранг матрицы. Способы вычисления. Метод элементарных преобразований.
10. Понятие системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.
11. Совместность системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
12. Квадратные системы. Формулы Крамера. Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы.
13. Структура общего решения совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
14. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Раздел II. Аналитическая геометрия.
1. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные системы координат.
2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
3. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.
4. Коллинеарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух векторов.
5. Компланарность. Геометрический смысл линейной зависимости трех векторов.
6. Линейная зависимость четырех векторов.
7. Базис и координаты векторов на плоскости и в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты, основные формулы. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора.
8. Скалярное произведение векторов. Определение, основные свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
9. Векторное произведение. Определение, геометрический смысл, основные свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
10. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и основные свойства. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей.
11. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Уравнение прямой в отрезках.
12. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
13. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
14. Нормированное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормированному виду. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
15. Плоскость в трехмерном пространстве. Общее уравнение плоскости и его исследование. Уравнение плоскости в отрезках.
16. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
17. Нормированное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормированному виду. Расстояние от точки до плоскости.
18. Прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей. Канонические и параметрические уравнения. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
19. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Исследование взаимного расположения двух прямых в пространстве.
20. Исследование взаимного расположения прямой и плоскости.
21. Эллипс. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
22. Гипербола. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
23. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы.
24. Парабола. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
25. Эллипсоид. Каноническое уравнение. Исследование формы. Эллипсоид вращения.
26. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Канонические уравнения. Исследование формы. Гиперболоиды вращения.
27. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Канонические уравнения. Исследование формы.
28. Цилиндрические и конические поверхности.
Раздел Ш. Абстрактная алгебра
1. Линейные векторные пространства. Определение и примеры.
2. Размерность и базис векторного пространства. Единственность разложения вектора по базису. Координаты вектора в данном базисе.
3. Матрица перехода от одного базиса линейного векторного пространства к другому. Преобразование координат вектора.
4. Евклидовы пространства, определение. Длина вектора, угол между векторами в евклидовом пространстве. Ортогональность векторов. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.
5. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации.
6. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенные формы. Критерий Сильвестра.
7. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора в заданном базисе линейного пространства. Примеры. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
8. Понятие невырожденного оператора, его свойства. Обратный оператор.
9. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение.
10. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Спектр оператора. Существование собственных значений оператора.
11. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.
12. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.
Лектор, к. ф.- м. наук, доцент Копылова Т. В.