РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

ЗАДАНИЕ

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫОПЫТОВ

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

РЕЗУЛЬТАТЫОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

ВЫВОД

ЛИТЕРАТУРА

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.

Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.

Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X₁, X₂,…X_k), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.

Предмет исследования– процесс функционирования двигателя.

Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости

 

ЗАДАНИЕ

 

Область планирования фактора X: X_min = 0,012 м, X_max = 0,055 м.

План проведения эксперимента:

 

№ опыта	xj
	-1
	-0,8
	-0,6
	-0,4
	-0,2
	0,2
	0,4
	0,6
	0,8

 

Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Х_min, Х_max), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.

 

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

 

где - интервал (шаг) варьирования фактора;

- натуральное значение основного уровня фактора;

- кодированное значение фактора x;

- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.

В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.

 

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫОПЫТОВ

 

Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.

 

Табл. 1

№ опыта	Xj	Yj
	0,012	3601,8348
	0,0163	2712,4310
	0,0206	2195,4343
	0,0249	1855,3637
	0,0292	1626,8644
	0,0335	1461,2450
	0,0378	1339,577
	0,0421	1250,5135
	0,0464	1173,9877
	0,0507	1126,4606
	0,055	1092,5573

 

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

 

Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a₀ + a₁X) и квадратичную зависимости (Y = a₀ + a₁X + a₂X²). Посредством МНК значения a₀, a₁ и a₂ найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Y_j от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

 

.

 

Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a₀, a₁ и a₂.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a₀ + a₁X. Получим:

 

;

.

Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

 

 

Решая эту систему, найдем коэффициенты a₁ и a₀:

 

; .

 

Для квадратичной зависимости Y = a₀ + a₁X + a₂X² система нормальных уравнений имеет вид:

 

 

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.

 

Табл. 2

№ опыта	Xj	Yj	Xj2	Xj Yj	Xj2Yj	Xj3	Xj4
	0,012	3601,8348	0,000144	43,222017	0,5186642	0,0000017	0,000000020736
	0,0163	2712,4310	0,0002656	44,212625	0,7204216	0,0000043	0,0000000705433
	0,0206	2195,4343	0,0004243	45,225946	0,9315227	0,0000087	0,0000001800304
	0,0249	1855,3637	0,00062	46,198556	1,1503254	0,0000154	0,0000003844
	0,0292	1626,8644	0,0008526	47,50444	1,3870645	0,0000248	0,0000007269267
	0,0335	1461,2450	0,0011222	48,951707	1,6398091	0,0000375	0,0000012593328
	0,0378	1339,577	0,0014288	50,63601	1,9139876	0,000054	0,0000020414694
	0,0421	1250,5135	0,0017724	52,646618	2,2164101	0,0000746	0,0000031414017
	0,0464	1173,9877	0,0021529	54,473029	2,52747781	0,0000998	0,0000046349784
	0,0507	1126,4606	0,0025704	57,111552	2,8954543	0,0001303	0,0000066069561
	0,055	1092,5573	0,003025	60,090651	3,3049858	0,0001663	0,000009150625
Σ	0,3685	19436,266	0,0143782	550,27311	19,206122	0,0006174	0,0000282173998

 

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X найдем коэффициенты a₁ и a₀:

 

.

.

 

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найдем коэффициенты a₁ , a₂ и a₀:

Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:

 

.

.

.

Найдем определитель (det) матрицы:

 

.

; ; .

; ; .

 

РЕЗУЛЬТАТЫОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

 

Построим графики функций Y = a₀ + a₁X; Y = a₀ + a₁X + a₂X² :

 

 

 

X	0,012	0,0163	0,0206	0,0249	0,0292	0,0335	0,0378	0,0421	0,0464	0,0507	0,055
Y=ao+a1X	2833,143	2619,9	2406,658	2193,415	1980,172	1766,929	1553,686	1340,443	1127,2	913,9573	700,7144
Y=a0+a1X+a2 X2	3215,923	2748,207	2330,714	1963,444	1646,397	1379,574	1162,973	996,5962	880,4424	814,5117	798,8043