ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
Г.
Принципы формирования цифрового сигнала
3.1 Расчет параметров АЦП
В современной системе связи информация передается в цифровой форме. Такое представление универсально для любого вида информации. Его основой является теорема Котельникова, по которой любой сигнал с ограниченным спектром может быть представлен совокупностью отсчетов (выборкой) – мгновенными значениями через определенный интервал времени 
. Множество таких значений называется выборкой; математическая форма записи которой следующая:
, (3.1)
где 
- функция Дирака.
Исходный сигнал может быть представлен по выборке с помощью ортогонального ряда Котельникова:
. (3.2)
Система связи должна передать выборку любым способом, однако чаще это реализуется при цифровом представлении сигнала. Такая оцифровка выполняется аналогово-цифровым преобразователем (АЦП). Обычно информация на выходе АЦП представлена в параллельном коде, который для передачи необходимо преобразовать в последовательный. Эта операция (рисунок 3.1) реализуется специальными микросхемами – преобразователями, построенными на регистрах сдвига.
Рисунок 3.1 – Сигналы АЦП
Основные характеристики АЦП – частота запуска и разрядность выходного кода.
В приемнике по выборке можно восстановить исходный сигнал различными способами, например, при помощи фильтра низких частот с граничной частотой 
, равной верхней частоте сигнала [1].
Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству:
, (3.3)
где 
– верхнее значение частоты спектра сигнала.
Для выбранного сигнала 
Гц.
Тогда согласно (3.3) интервал дискретизации 
с.
Частота запуска АЦП 
Гц.
Выберем частоту дискретизации 
с 4-х кратным запасом для уменьшения погрешностей преобразования.
Гц.
Соответственно 
с.
Рисунок 3.2 – Дискретизированный во времени сигнал № 8
Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование. Разрядность кодов определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов.
В качестве верхней границы динамического 
принимаем напряжение самого большого по амплитуде отсчета: 
В.
Нижняя граница диапазона определяется по формуле:
, (3.4)
где 
– динамический коэффициент (по заданию 
):
В.
Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета 
задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:
, (3.5)
где 
– мощность шумов квантования при равномерной шкале квантования,
, (3.6)
где 
- шаг шкалы квантования,
, (3.7)
где 
– число уровней квантования.
С учетом равенств (3.5) – (3.7) получим:
. (3.8)
В задании на курсовую работу мгновенная мощность сигнала 
.
Тогда по (3.8) число уровней квантования 
или 
.
Шаг шкалы квантования по (3.7) 
В.
Мощность шумов квантования согласно (3.6) 
Вт.
Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется по выражению:
, (3.9)
где m – разрядность кодовых комбинаций, отсюда
. (3.10)
Следовательно, по (3.10) 
или 
.
Длительность элементарного кодового импульса 
определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода m. Здесь необходимо ввести защитный интервал, под который отводят половину . В итоге получается выражение:
. (3.11)
Откуда 
с.
Таким образом, определены основные требования, предъявляемые к АЦП.
3.2 Цифровой сигнал и его характеристики
Мгновенные значения исходного сигнала на выходе регистра представляют собой последовательность кодовых слов. Каждое слово – случайная последовательность, состоящая из m нулей и единиц. Таким образом, полный сигнал после оцифровки – случайная последовательность.
Необходимо определить параметры такой модели, которая облегчила бы стыковку микросхем друг с другом, при этом нужно помнить, что АЦП и регистр сдвига реализуются на транзисторах и микросхемах, а уровни сигналов на выходе должны соответствовать требованию общепринятых логических уровней.
Некоторые характеристики отечественных АЦП в интегральном исполнении приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1 – Технические характеристики АЦП
| Серия | Разрядность выхода | Тип логики | Уровень 1, В | Уровень 0, В |  , 
|
| К572ПВ1 | ТТЛ |  2,4
|  0,4
| 170 мкс | |
| К1113ПВ1 | ТТЛ | » | » | 30 мкс | |
| К1108ПВ1 | 10/8 | ТТЛ | » | » | 1 МГц |
| К1107ПВ1 | ТТЛ | » | » | 6,5 МГц | |
| К1107ПВ1 | ТТЛ | » | » | 20 МГц | |
| К1107ПВ4 | ЭСЛ | - 1,1 | - 1,5 | 100 МГц |
По данным таблице 3.1 можно сделать два вывода:
1) наиболее распространены АЦП с уровнями ТТЛ;
2) уровень логического нуля низок и при составлении математической модели сигнала может быть принят равным нулю.
По данным таблице 3.1 выбираем для преобразования микросхему К1107ПВ1. С такими же логическими уровнями должен работать и преобразователь кода, построенный на регистре сдвига.
Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов):
1) для уровня квантования 20 имеем кодовую комбинацию 010100
2) для уровня квантования 21 имеем кодовую комбинацию 010101
3) для уровня квантования 22 имеем кодовую комбинацию 010110
4) для уровня квантования 23 имеем кодовую комбинацию 010111
Таким образом, сигнал после оцифровки – случайная последовательность 010100010101010110010111.
Числовые константы сигнала определяются по формулам:
; 
. (3.12)
Для определения вероятностей определим количество нулей и единиц в цифровой последовательности 010100010101010110010111.
Количество нулей – 12, количество единиц – 12; последовательность состоит из 24 символов. Тогда вероятность нулей – 
, вероятность единиц – 
. В соответствии с выбранной микросхемой, уровень нуля – 
В, уровень единицы – 
В.
Тогда согласно (3.12)
;
.
Функция автокорреляции (АКФ) показывает статистическую связь между временными сечениями сигнала.
В общем случае АКФ определяется усреднением либо по множеству, либо по времени. В данном случае, не располагая множеством, АКФ определим так:
, (3.13)
где T – длительность сигнала;
– дисперсия сигнала;
– временное расстояние между двумя сечениями сигнала.
При проведении расчетов АКФ воспользуемся возможностями программы Mathсad. Поступим следующим образом.
Создадим два вектора 
и 
(количество столбцов – 1, строк – число разрядов в 4-кодовых комбинациях):
Далее воспользуемся функцией Mathсad 
.
В первом случае векторы одинаковы, и корреляция будет равна 1, т. е. 
.
Далее изменим вектор , сдвинув числа на один шаг, и вновь повторим вычисление корреляции. Это равносильно внесению временного сдвига на один шаг, т.е. на длительность одного импульса 
мкс. Таким образом рассчитывается АКФ.
В этом случае 
.
Для выяснения статистических связей возьмем 8 значений векторов и corr.
Таблица 3.2 – АКФ кодового сигнала
| , мкс
| 6,889 | 13,779 | 20,668 | 27,558 | 34,447 | 41,337 | 48,226 | |
| corr | -0,5 | 0,333 | -0,333 | 0,333 | -0,5 | 0,5 | -0,5 |
В среде Mathсad по данным таблицы 3.2 сформируем два вектора – 
и 
:
.
На основании рассчитанной АКФ подберем математическое выражение, наиболее полно отражающее реальную зависимость. Для этого воспользуйтесь методом Mathсad, который называется «сплайн-аппроксимация». Исходная функция АКФ заменяется отрезками кубических полиномов, каждый из которых проходит через три смежные точки. Коэффициенты полиномов рассчитаны так, что первые и вторые производные непрерывны.
Операция сплайн-аппроксимации проводится в два этапа. На первом этапе с помощью одной из функций (
– для кубического полинома; 
– для квадратичного; 
– для линейного полинома) отыскивается вектор вторых производных заданной функции 
, которая в свою очередь должна быть задана векторами (абсциссы) и (ординаты). На втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение с помощью функции interp.
С помощью функции 
вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:
.
Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую АКФ кубическим сплайн-полиномом:
.
Произведем кусочную аппроксимацию отрезками прямых
.
Обе рассчитанные зависимости приведены на рисунке 3.3. Сравнивая ход кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического сплайн-полинома и расчетных значений.
Ценность результатов заключается и в том, что далее можно пользоваться аналитическим (формульным) выражением АКФ. Сглаженная функция АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале.
Рисунок 3.3 – График функции, аппроксимирующий АКФ кубическим сплайн-полиномом
Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:
, (3.14)
где 
- нормированная функция 
, определенная по формуле ;
T – последнее рассчитанное значение .
Решение интеграла проведем в среде Mathсad.
Таблица 3.3 – Значения спектра кодированного сигнала
 , 
| 0,3 | 0,6 | 0,9 | 1,2 | 1,5 | |
| 0,0680 | 0,138 | 0,144 | 0,148 | 0,0179 |
Рисунок 3.4 – Спектральная характеристика кодированного сигнала