Допустим, мы исследуем какой-либо объект или процесс. Пусть имеются некоторые параметры, описывающие объект или процесс, значения которых мы можем задавать (это входные параметры х1, х2, …, хn), пусть задана какая-либо функция, зависящая от входных параметров F (х1, х2, …, хn). Пусть на входные параметры х1, х2, …, хn наложены некоторые ограничения:
G1 (х1, х2, …, хn)>=0
…
Gm(х1, х2, …, хn)>=0
Пусть нам требуется найти такие значения х1*, х2*, …, хn*, при которых не нарушены ограничения и при которых функция F (х1*, х2*, …, хn*) принимает наибольшее или наименьшее значение, обозначим его через F*. Функция F (х1, х2, …, хn) называется критерием оптимизации, или целевой функцией, входные параметры х1, х2, …, хn – параметрами оптимизации. «Оптимальное значение» – общий термин для «наибольшего и наименьшего значения». Другой общий термин для «наибольшего и наименьшего значения» - «экстремальное значение».
Значения х1*, х2*, …, хn*, при которых функция F (х1*, х2*, …, хn*) принимает оптимальное значение F*, – оптимальные значения входных параметров.
Optimal – (лат.) хороший, optimus – наилучший.
Extremus – (лат.) крайний
Criterium – (греч.) отделять, решать.
Пример. Пусть требуется построить ангар заданного объёма V. Задана стоимость 1м2 крыши ангара - ck, 1м2 стен ангара - cs. Пусть длина ангара - х1 м, ширина - х2 м, высота - х3 м. Определить х1, х2, х3 так, чтобы стоимость ангара была минимальна.
х1, х2, х3 – входные параметры,
G(х1, х2, х3)= (х1* х2*х3 – V) - функция ограничения,
F(х1, х2, х3) = (2x1*x3+ 2x2*x3) * cs + x1*x2*ck - критерий оптимизации.
Следует отметить, что без указания критерия оптимизации – теряется смысл оптимизации, при разных критериях можно получить совершенно различные, противоположные значения параметров оптимизации.
Оптимизационные задачи известны с древних времен. Одна из них - задача Дидоны, основательницы Карфагена. Дидона – финикийская царевна. Поссорившись с братом, она покинула Финикию (нынешняя Сирия; финикийцы – изобретатели алфавита), высадилась на берегу нынешнего Туниса и после переговоров с вождём местных племён получила право на участок земли на берегу моря, который можно «охватить бычьей шкурой». Она разрезала шкуру на тонкие полоски, связала их и отгородила себе с помощью полученной верёвки полукруг – фигуру, имеющую максимальную площадь.
Задача Дидоны состоит в определении формы кривой заданной длины L, которая определяет фигуру максимальной площади S на полуплоскости (см. рисунок).
Если рассматривать задачу для плоскости, то фигурой, имеющей максимальную площадь при фиксированном периметре фигуры, является круг. Для сравнения
| Площадь | a | Периметр | |
| Ravnobedr. pryamoug. treugol'nik | 1.414213562 | 4.828427125 | |
| Kvadrat | |||
| Krug | 0.564189584 | 3.544907702 |
Применение решения задачи Дидоны: форма сечения трубопровода. Почему трубы для магистральных газонефтепроводов имеют круглое сечение?
Экономичность трубопроводного транспорта, определяется (как и любое другое производство) величиной капитальных и эксплуатационных затрат.
Удельные эксплуатационные затраты при прочих равных условиях определяются пропускной способностью трубопровода, которая напрямую зависит от площади поперечного сечения канала по которому транспортируется продукт. Если сравнить круг с любой другой геометрической фигурой, то окажется, что при одинаковой площади фигур наименьший периметр - именно у круга. При переносе данного аспекта на трубопроводный транспорт это означает, что при одинаковой пропускной способности (площади поперечного сечения) каналов различного сечения затраты материала на сооружение трубопровода круглого сечения будут наименьшими (поскольку периметр в данном случае наименьший). Это первое.
Во-вторых, можно отметить тот момент, что только в трубах круглого сечения нагрузки от действия внутреннего давления будут распределяться равномерно, поскольку сила давления всегда действует перпендикулярно выбранной площадке (которой является внутренняя поверхность трубы). Например, для трубы квадратного сечения под действием силы внутреннего давления в углах квадрата будут возникать концентраторы напряжений. С практической точки зрения означает, что для квадратной, треугольной или любой другой трубы необходимо будет проводить усиление конструкции в местах концентрации напряжений, т.е. увеличивать толщину стенки канала, и, в итоге, увеличивать расход материала на сооружение трубопровода, что в свою очередь приведет к росту капитальных затрат. При этом известно, что металлозатраты на сооружение линейной части магистральных трубопроводов достигают 60 % всех капитальных вложений в строительство.
В третьих, можно отметить, что в трубах круглого сечения турбулизация потока будет наименьшей. Поэтому энергозатраты на транспорт в данном случае также будут наименьшими.
Следует заметить, что объекты и явления в природе имеют такие свойства, при которых выполняется условия оптимума некоторого критерия. Так, например, свет в однородной среде распространяется по кратчайшему пути. Объект в гравитационном поле стремится занять положение с наименьшей потенциальной энергией (шарик скатывается с горки в самую нижнюю точку) и т.д.
Рассмотрим сначала несколько примеров.
Допустим требуется провести газопровод в два пункта. Требуется определить точку установки на газораспределительного пункта (ГРП), таком образом, чтобы сумма расстояний L1+ L2, была минимальна (рисунок).
Оптимальное решение АСВ. По построению видно, что угол 
равен углу BCD. Таким образом, решение повторяет путь луча света.
Следует отметить, что и в живой природе также можно наблюдать выполнение принципов оптимума, которое было достигнуто в результате длительной эволюции (форма тела дельфина и форма современных самолётов).
Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется водоносный пласт, над которым расположено три населенных пункта A, B, C. Требуется определить точку бурения артезианской скважины таким образом, чтобы сумма расстояний от нее до пунктов A, B, C была минимальна (см. рисунок)
Оптимальное расположение искомой точки такое, при котором отрезки АВ, АС и ВС видны из неё под углом 120 градусов. Решение при большем числе точек также приведено на рисунке и оно напоминает соты из пчелиного улья, т.е пчелы строят свои соты таким образом, чтобы минимизировать расходуемый при этом материал.