Оглавление
1. Введение …………………………………………………………………………….3
2. Основная часть
2.1 Построение угла в 10 по шаблонам 190 и 70 ………………………………….5
2.2 Построение угла в 10 методом невсиса……………………………………….6
2.3 Алгоритм построения любого целочисленного угла с помощью циркуля и линейки …………………………………………………………………………7
3. Заключение ……………………………………………………………………........8
4. Источники информации ……………………………………………………...........9
5. Приложение ………………………………………………………………….........10
Введение
Из истории геометрических построений циркулем и линейкой: традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и двух заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений.
На уроках геометрии мне очень понравились задачи на построение углов и треугольников, равных данным с помощью циркуля и линейки. Мне стало интересно, можно ли точно построить любой целочисленный угол только с помощью циркуля и линейки?
Гипотеза: Невозможно точно построить любой целочисленный угол только с помощью циркуля и немасштабной линейки.
Цель: Определить, существуют ли способы построения любого угла только с помощью циркуля и немасштабной линейки.
Задачи:
1. Повторить изученный на уроках геометрии материал по теме: "Задачи на построение"
2. Найти алгоритм построения угла с помощью циркуля и линейки.
Содержание и сроки работы
| действие | срок |
| Изучение проблемы, постановка целей и задач | 1 день |
| Поиск алгоритма построения угла с помощью циркуля и линейки | 1 неделя |
| Анализ и обобщение полученных результатов | 1 день |
| Создание текстового документа и презентации | 1 неделя |
| Публичное представление проекта | 1 день |
Основная часть
На уроках геометрии с помощью циркуля и линейки мы научились строить углы, равные данному, а также углы, равные 90⁰, 60⁰. Если построить биссектрисы данных углов, то можно получить углы, равные 45⁰, 30⁰, а проведя биссектрису для угла 30⁰, мы получим угол 15⁰. Используя данные шаблоны, можно построить углы, равные 120⁰, 150⁰, 165⁰, 135⁰, 105⁰, 75⁰, т.е. целочисленные углы, кратные 15.
Но для того, чтобы построить любой другой угол, необходим шаблон угла 1⁰.
2.1 Построение угла в 10 по шаблонам 190 и 70
Изучая этот вопрос по источникам информации, я узнала, что можно построить угол 1⁰, используя шаблоны 19⁰ и 7⁰.
Приведем пример, используя шаблон угла, равного 19⁰. Нужно провести произвольный луч, отложить от него угол, равный 19⁰, от нового луча отложить опять 19⁰ и т.д. Этот процесс нужно выполнить 19 раз. 19⁰*19=361⁰, тогда угол, заключенный между первым лучом и последним составит 1⁰, так как полная окружность составляет 360⁰.
Аналогично можно найти угол в 1⁰, используя шаблон угла, равного 7⁰. Для этого проводим произвольный луч и откладываем от него угол 7⁰ 13 раз. 7⁰*13=91⁰. Далее от первоначального луча откладываем угол 90⁰, получаем искомый угол 1⁰.
Но под рукой не всегда есть шаблоны, поэтому нам нужно найти способ построения угла, равного 1⁰, используя только циркуль и немасштабную линейку. Если применять способ построения биссектрисы угла, то мне потребуются углы, величины которых являются степенью по основанию 2: 2⁰, 4⁰, 8⁰, 16⁰, 32⁰, 64⁰ и т.д. Но из углов 15⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰ и т.д. получить нужный угол известными мне способами невозможно. Значит нужно искать другой способ.
2.2 Построение угла в 10 методом невсиса
Изучая различные источники информации, я нашла способ деления окружности на 5 равных частей. Для начала начертим окружность. От центра окружности проведём два радиуса, перпендикулярные друг другу. Горизонтальный радиус разделим пополам и от середины данного радиуса к верхней точке вертикального радиуса проведём отрезок. Получившийся отрезок будет являться радиусом новой, дополнительной окружности. Чертим окружность. В точках пересечения дополнительной окружности с основной, циркулем чертим ещё две окружности с таким же радиусом. В итоги получаем пять точек. Соединив центр основной окружности с точками на окружности, получили центральные углы, каждый из которых равен 72⁰ (рис.1).
Если провести биссектрису угла, равного 72⁰, то получим угол 36⁰, а поделив его пополам, получим угол 18⁰. Данный угол также можно поделить пополам, получаем угол 9⁰. Чтобы получить искомый угол, равный 1⁰, нужно угол 9⁰ разделить на 3 равные части, а затем полученный угол 3⁰ еще раз разделить на 3 равных угла.
Я искала способ деления угла на три равные части. В сети интернет нашла видео в котором сказано, что казанский пенсионер Фаат Яхиевич Галлямов в 2010 году решил задачу деления угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Я изучила видео, но решила проверить является ли его решение верным. К сожалению, реакция экспертов на решение Галлямова была отрицательной. Это значит, что результат очень приближен к истине, но не точный.
Я стала вновь изучать вопрос о делении угла на три равные части и нашла нужную статью в сети интернет. Задача, цель которой разделить угол на 3 равные части с помощью циркуля и линейки, называется трисекцией угла. Изучая информацию о трисекции угла, я узнала, что эту задачу можно решить методом невсиса.
Невсис (от др.-греч. νεῦσις) — метод геометрического построения, цель которого — вписать отрезок заданной длины между двумя кривыми линиями таким образом, чтобы этот отрезок или его продолжение проходил через заданную точку.
Метод был известен ещё в древней Греции. Название происходит от слова νεῦσις «наклон». Данное построение с помощью невсиса предложено Архимедом.
Предположим, что имеется ∟α= ∟POM (рис.2). Необходимо построить ∟β, величина которого втрое меньше данного: α=3β. Построим окружность радиусом а с центром в точке О. Пусть стороны пересекаются с окружностью в точках P и M. Продолжим сторону ОМ исходного угла. Возьмем немасштабную линейку, отложив на ней отрезок а, и используя прямую ОМ в качестве направляющей, точку Р в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок АВ. Получим угол РАМ, равный одной трети исходного угла α.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВО (рис.3). Так как АВ=ВО=а, то треугольник равнобедренный и его углы при основании равны β. Угол РВО - внешний угол треугольника и равен 2β. Треугольник РВО тоже равнобедренный, его углы при основании равны 2β, а угол при вершине γ=180°-4β. С другой стороны γ=180°- β - α, значит α=3β.
Выполнив деление угла 9⁰, а затем деление угла 3⁰ на 3 равные части, я получила искомый угол, равный 1⁰ (рис. 4-5). Затем я проверила результат с помощью транспортира (рис. 6). У меня получилось построить угол, равный 1°.
Алгоритм построения любого целочисленного угла с помощью циркуля и линейки
Проведя работу по изучению различных методов построения угла в 10, вышла на алгоритм построения любого целочисленного угла с помощью циркуля и линейки:
1. Если угол кратен 15, то его можно получить через последовательное построение биссектрис углов в 900 или 600.
2. Если есть угол в 190 или 70, то построить угол в 10, используя данные углы в качестве шаблонов.
3. Если нет шаблонов, то построить угол в 10 методом невсисса.
4. Отложить угол 10 столько раз, какова величина угла.
Заключенение
В ходе работы над проектом, я повторила все построения, изученные на уроках геометрии, и, изучив найденную в различных источниках информацию, выполнила новые построения. Я нашла способ построения угла, равного 1⁰. Далее, используя шаблон искомого угла, можно построить любой целочисленный угол, пользуясь приемами построения угла, равного данному, изученными на уроках геометрии.
Моя гипотеза не подтвердилась. Вывод: можно построить любой целочисленный угол только с помощью циркуля и немасштабной линейки.
Я считаю, что полученные умения позволят мне решать задачи на построения не только в учебном процессе, но и в реальной жизни на практике, когда под рукой не будет транспортира.
Источники информации
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. др. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2009
2. https://www.matematicus.ru/geometriya/planimetriya/delenie-okruzhnosti-na-5-ravnyh-chastej
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%B8%D1%81
5. https://textarchive.ru/c-2349824.html
6. https://www.youtube.com/watch?v=WI8wk3n-zfg&feature=emb_imp_woyt
7. https://mamonino.livejournal.com/143434.html
Приложение
Рис.1
Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6