Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов

Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы.

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни – арабскими (рис. 3). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями – усилиями в стержнях, которые будем обозначать символом . На рис показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия, т. е. . Реактивные силы изображены на рис в предположении, что стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат.

Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это условие можно записать в виде

Так как в каждом рассматриваемом узле должно быть не более двух неизвестных реакций, выберем следующую последовательность решения

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов и последовательно найдем реакции стержней фермы.

Узел I

Из уравнений с учетом найденных ранее реакций внешних связей найдем реакции :

Узел II

Из уравнений, с учетом,(4)

Узел III

Из уравнений, с учетом

Узел V

Из уравнений, с учетом

Узел IV

Из уравнений, с учетом

Узел VII

Из уравнений, с учетом (5),

Узел VI

Из первого уравнения системы, с учетом (7)

Узел VIII

Последнее уравнение системы и уравнения могут служить, при найденных ранее реакциях внешних связей, проверочными. Действительно

Результаты расчета сведем в таблицу.

Реакциястержня
Значениереакции,	380.73			242ю9	-14,64	-32,63	-102	-282,56	248,78	323,6	-101,99	157,81	520,57

Отрицательные значения реакций стержней показывают, что направления этих реакций противоположны принятым на расчетной схеме и, следовательно, они сжаты. Стержни при некоторых значениях сжимающих усилий могут потерять прямолинейную форму (изогнуться) и при дальнейших расчетах их необходимо проверять помимо прочности еще и на устойчивость. Значения реакций стержней положительны. Следовательно, эти стержни растянуты.

Выбор последовательности расчета, предложенной для нахождения искомых реакций, обусловлен тем, что решение уравнений равновесия осуществлялось в зависимости от найденных на предыдущем этапе решений, т. е. «вручную». Такая последовательность неединственная. Можно указать и другие последовательности решения.

При использовании метода вырезания узлов можно обойтись без предварительного нахождения реакций внешних связей (реакций опор фермы). Действительно, статически определенная и геометрически неизменяемая ферма содержит стержня, где – число узлов; так как три уравнения необходимы для нахождения реакций опор, то для вычисления всех неизвестных сил (реакций опор и реакций стержней) нужно уравнений.

Применительно к рассматриваемой ферме имеем 8 узлов и 13 неизвестных величин . Рассмотрев равновесие всех узлов фермы, получим замкнутую систему 14 линейных алгебраических уравнений –, относительно 14 неизвестных величин (реакций внешних и внутренних связей).

Уравнения, в этом случае, могут служить для проверки расчета: при подстановке в них найденных значений реакций опор они должны обратиться в тождества.

Такой подход эффективен при использовании вычислительной техники, которая позволяет легко решать большие системы линейных алгебраических уравнений.

Поэтому в задачах нахождения реакций внешних и внутренних связей для ферм, выполненных по схемам 2 и 3, ограничимся составлением только уравнений равновесия, а их решение выполним с помощью пакета Mathcad (п. 4).

Схема №2

а)

б)

Рассмотрим мостовую ферму (рис. 4 а), которая находится в равновесии под действием активных сил , , и связей приложенных в точках и . В точке А расположен невесомый стержень, в точке В – шарнирная опора, угол наклона опорной плоскости которой равен .

Как и ранее, воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними – и внешними – (рис. 4 б). Записывая уравнения равновесия для каждого узла, получим

Узел I
Узел II
Узел III
Узел IV
Узел V
Узел VI
Узел VII
Узел VIII

Уравнения – является замкнутой системой 16 линейных алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных реакций и .

Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:

Последовательно решая систему уравнений, из третьего уравнения найдем реакцию

Из первого уравнения этой системы –

а из второго уравнения

Схема №3

а)

б)

Рассмотрим мостовую ферму (рис. 5 а), которая находится в равновесии под действием активных сил , , и связей приложенных в точках и . В точке расположена катковая опора, угол наклона опорной плоскости которой равен , в точке – горизонтальная катковая опора, а в точке – невесомый стержень.

Воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними – и внешними – (рис. 5 б). Записывая уравнения равновесия для каждого узла, получим