МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.

7.1 Позиционная система счисления

Пример непозиционной системы счисления – Римская система, в которой значение цифры не зависит от местоположение: ХХVI – X везде равно 10. В позиционной системе значимость цифры определяется ее местоположением. Представляется в виде полинома число х

где х_i – разрядный коэффициент (х_i = 0…q-1); qⁱ – весовой коэффициент; q – основание системы счисления (может быть целым и дробным). Наиболее распространена в цифровой технике двоичная система счисления(q = 2) (табл. 7.1).

Существуют также позиционные системы с q =2,8,10 и 16. Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе с большим основанием осуществляется по вышеприведенному выражению.

Пример: Преобразовать двоичное число х₂ = 1011₂ в десятичное х₁₀.

Для q =2 х₁₀=1×2³+ 1×2² +0×2¹ +1×2⁰ =11

Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим основанием: а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления; б)дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления.

Булева алгебра. Буль – ирландский математик, середина 19 в. Служит для описания алгоритмов цифровых устройств. Оперируют логической 1 (около 5 В) и логическим 0 (около 0,2 В).

7.2Основные способы записи функций алгебры логики (ФАЛ)

Функции алгебры логики (ФАЛ) – зависимость выходных переменных Z_i, выраженная через совокупность входных переменных х₁,х₂,…х_n. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ.

1) Описание ФАЛ в виде таблице истинности (табл. 7.2).

2) Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения:

а) логическое сложение (ИЛИ) – дизъюнкция

б) логическое умножение (И) – конъюнкция

в) отрицание, инверсия (НЕ) если х = 1, то ;если х = 0, то

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – логическая сумма логических произведений, в каждое из которых аргумент входит один раз. ДНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают произведение входных переменных, для которых ФАЛ равна единице, причем переменные, равные нулю, записывают с инверсией. Эти произведения называют конституентами единицы; 2) Логически суммируют все конституенты единицы ДНФ. Полученная суммированием конституент единиц сумма, называется СДНФ – совершенная ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – логическое произведение логических сумм, в каждую из которых аргумент или его инверсия входят один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают суммы входных переменных, для которых ФАЛ равна нулю. При этом переменные, значения которых равны единице, записывают с инверсией. Полученные суммы называют конституентами нуля.

Примеры:

с ДНФ:

с КНФ:

1) Кубическое представление ФАЛ. При этом набор выходных переменных представляется n – мерным вектором. Вершины этих векторов геометрически могут быть представлены как вершины n – мерного куба (рис. 7.1). Отмечая точками вершины этих векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление в виде куба.

Например, задана ФАЛ z(х₂, x₁, x₀) = å(3,4,5,6,7); Дать геометрическое представление в виде куба. Графическое решение задачи представлено на рисунке.

2) Соседние наборы переменных, расположенные на концах ребер куба, отличаются только одной переменной. Каждую вершину куба, в которой функция принимает единичное значение, называют нулевым кубом. Множество нулевых кубов составляет кубический комплекс К₀ ФАЛ. Если два нулевых куба комплекса К₀ отличаются по одной переменной, для которых ФАЛ равна единице, являются соседними, то они образуют единичный куб. Геометрически это соответствует ребру исходного n – мерного куба (рисунок 7.2 а).

1 – куб записывается последовательностью общих элементов образовавших его 0 – кубов с прочерком совпадающих элементов. Множество единичных кубов образует единичный кубический комплекс К₁.

Если два единичных куба комплекса К₁отличаются только по одной координате (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб. Геометрически это соответствует грани исходного n – мерного куба (рис. 7.2). 2 – куб записывается последовательностью общих элементов, образовавших его 1 – кубов с прочерком несовпадающих элементов.

Пример: Задана ФАЛ z(х₂, x₁, x₀) = å(3,4,5,6,7). Записать кубические комплексы.

Решение: Нулевой кубический комплекс К₀=(011,100,101,110,111). 1-ый и 5-ый кубы отличаются только первым членом. Поэтому они образуют 1-куб вида – 11. Аналогично второй и третий 0-кубы образуют 1- куб 10 – и т.д. Единичный кубический комплекс заданной ФАЛ будет иметь вид: К=(-11,10-,1-0,11-,1-1). Аналогично получается двоичный кубический комплекс, состоящий из одного 2-куба: К₂=(1--).

7.3 Теоремы Булевой алгебры

1 х+0=х; х+1=1;х+х=х;