К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 4

 

1.Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла.

2. Напишите таблицу основных интегралов.

3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

4. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Выведите формулу интегрирования по частям.

6. Запишите простейшие рациональные дроби 1-1V типов. Вычислите неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей 1-III типов.

7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

8. Изложите методы интегрирования иррациональных выражений.

9. Изложите методы интегрирования тригонометрических выражений.

10. Что называется определенным интегралом и каковы его свойства?

11. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

12. Запишите формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определенного интеграла.

13. Как производится интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле?

14. Дайте определение несобственных интегралов.

15. Запишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат

16. Приведите формулы для вычисления длины дуги кривой и объема тела вращения.

.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Контрольная работа № 3

“Приложения дифференциального исчисления”

Задача № 1

. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

 

1. у=х ²+16 /х, [1;4]. 11. y= 4 – 4/ x ² – x, [1;4].

2. у= 2 – x, [0;4]. 12. y= , [–3;3].

3. y=x – 4 + 5, [1;9]. 13. y= 10 x/ (1+ x ²), [2;4].

4. y= 3 – x – 4/(x+ 2)², [–1;2]. 14. y= 2 x ² – 59 +108/ x, [2;4].

5. у= , [1;4]. 15. y= , [–5;1].

6. y= – x ²/2+ 8/ x+ 8, [–4; –1]. 16. y=х –4 + 8, [–1;7].

 

7. y= , [–2;4]. 17. y= 6 – x+ 3, [6;18].

8. y= 2 – x+ 2, [1;5]. 18. y= 4/ x ²+8 x – 15, [0,5;2]

9. y= 3 x +(2 x + 8)/(x – 2), [–2;1]. 19. y= 4 x/ (4+ x ²), [–4;2].

10. y= 4/ x ² – 8 x – 15, [–2; –0,5]. 20. y= , [–1;2].

Задача № 2

1. Площадь прямоугольника равна 9 кв.ед. Найти стороны прям угольника, при которых его периметр будет наименьшим.

2. Требуется изготовить открытую сверху коробку с квадратным дном, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 108 куб.ед. Найти размеры коробки, при которых на ее изготовление потребуется наименьшее количество материала.

3. Периметр прямоугольника равен 12 см. Какие стороны должны быть у этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

4. По углам квадратного листа жести со стороной, равной 12, вырезаны одинаковые квадраты и оставшиеся края листа загнуты под прямым углом так, чтобы образовалась открытая сверху коробка. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

5. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 24 см и углом 60⁰ вписан прямоугольник, имеющий общий с треугольником прямой угол. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

6. Найдите коэффициенты k и b уравнения прямой y=kx+b, которая проходит через точку Р (1;3) и образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

7. Требуется изготовить открытую сверху коробку с квадратным дном, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 32 куб.ед. Найти размеры коробки, при которых на ее изготовление потребуется наименьшее количество материала.

8. Площадь прямоугольника равна 16 кв.ед. Найти стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим.

9. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 10 см и углом 45⁰ вписан прямоугольник, имеющий общий с треугольником прямой угол. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

10. Найдите коэффициенты k и b уравнения прямой y=kx+b, которая проходит через точку Р (1;1) и образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

11. Периметр прямоугольника равен 32 см. Какие стороны должны быть у этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

12. По углам квадратного листа жести со стороной, равной 18, вырезаны одинаковые квадраты и оставшиеся края листа загнуты под прямым углом так, чтобы образовалась открытая сверху коробка. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

 

13. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 20 см и углом 60⁰ вписан прямоугольник, имеющий общий с треугольником прямой угол. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

14. Найдите коэффициенты k и b уравнения прямой y=kx+b, которая проходит через точку Р (1;4) и образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

15. Требуется изготовить открытую сверху коробку с квадратным дном, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 62,5 куб.ед. Найти размеры коробки, при которых на ее изготовление потребуется наименьшее количество материала.

16. Площадь прямоугольника равна 25 кв.ед. Найти стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим.

17. Периметр прямоугольника равен 20 см. Какие стороны должны быть у этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

18. По углам квадратного листа жести со стороной, равной 30, вырезаны одинаковые квадраты и оставшиеся края листа загнуты под прямым углом так, чтобы образовалась открытая сверху коробка. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

19. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 16 см и углом 45⁰ вписан прямоугольник, имеющий общий с треугольником прямой угол. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

20. Найдите коэффициенты k и b уравнения прямой y=kx+b, которая проходит через точку Р (1;2) и образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

 

Задача 3.

 

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

 

Задача № 4

 

Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики, используя полученные результаты.

1. а) у= (х ³+4)/ х ², б) у= (2 х+ 3) e ^{-2(x+ 1)}.

2. а) у= 2/(х ²+2 х), б) y= 3 ln – 1.

3. а) у= 12 х/ (9+ х ²), б) у= (х – 2) e ^{3- x}.

4. а) у= (4 – х ³)/ х ², б) y= 3 – 3 ln .

5. а) у= (2 х ³+1)/ х ², б) у= (2 х+ 5) e ^{-2(x+ 2)}

6. а) у=х ²/(х – 1)² , б) y= 2 ln – 1.

7. а) у= (12 – 3 х ²) / (12+ х ²), б) у= (2 х – 1) e ^{-2(x - 1)}

8. а) у= – 8 х/ (4+ х ²), б) y= 2 ln -3.

9. а) у= (3 х ⁴ +1)/ х ³, б) у= – (2 х+ 3) e ^{2(x+ 2)}

10. а) у= 8(х – 1)/(х +1)², б) y= ln +2.

11. а) у= (х ² – х + 1)/(х – 1), б) у= (3 – х) e ^{x- 2}

12. а) у= 4 х ² / (3+ х ²), б) y= ln +1.

13. а) у= (х ² – 3 х + 3)/(х – 1), б) у= – (2 х+ 1) e ^{2( x+ 1)}.

14. а) у= (х ² – 4 х + 3)/(х – 4), б) y= ln – 2.

15. а) у= (х – 1)²/ х ², б) у= (4 – х) ^{x- 3}

16. а) у= (1+1/ х) ², б) y= 2ln – 3.

17. а) у= (9+6 х– 3 х ²)/(х ² – 2 х+ 13), б) у= – (х+ 1) e ^{x+ 2}

18. а) у= ((х – 1)/(х +1))², б) y= ln – 1.

19. а) у= 4 х/ (1+ х)², б) у= (х+ 4) e ^{-(x+ 3)}

20. а) у= (1 – 2 х ³)/ х ², б) y= ln – 1

 

Контрольная работа № 4

“Неопределенный и определенный интеграл”

Задача № 1

 

. Найти неопределенные интегралы. В первом примере (пункт а)) результат проверить дифференцированием.

1. a) б) в)

г) д) е)

2. a) б) в)

г) д) е)

3. a) б) в)

г) д) е)

4. a) б) в)

г) д) е)

5. a) б) в)

г) д) е)

6. a) б) в)

г) д) е)

7. a) б) в)

г) д) е)

8. a) б) в)

г) д) е)

9. a) б) в)

г) д) е)

10. a) б) в)

г) д) е)

11. a) б) в)

г) д) е)

12. a) б) в)

г) д) е)

13. a) б) в)

г) д) е)

14. a) б) в)

г) д) е)

15. a) б) в)

г) д) е)

16. a) б) в)

г) д) е)

17. a) б) в)

г) д) е)

18. a) б) в)

г) д) е)

19. a) б) в)

г) д) е)

20. a) б) в)

г) д) е)

Задача 2

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. 6. ,

7. , 8. , 9. x 10. , 11. x cos2 x dx, 12. ,

13. , 14. , 15. 16. , 17. , 18. x

19. , 20. x sin(x ²) dx.

Задача № 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать чертеж

1. а) у= х ²; у= 2 х+ 3; б) =3 sin 2 .

2. а) у = 2 х ²; у =х /2; б) =4 cos .

3. а) у = 4 х – х ²; у=х; б) =2 cos 4 .

4. а) у = х ² – 2 х +1; у= –х+ 3; б) =3 cos 2 .

5. а) у = х ²; у= 3 х+ 4; б) = 1 – cos .

6. а) у = 4 х – х ²; у=х+ 2; б) =2 cos 6 .

7. а) у = х ²/2+2; у = х ²; б) =2

8. а) у = 2 х – х ²; у= –х; б) = sin 3 .

9. а) у = 2 х – х ²; у=х– 2; б) = 2sin 4 .

10. а) у = х ²; у=–2х+ 3; б) = sin 6 .

11. а) у = – х ²/2; у=х– 3/2; б) = 3 (1+cos ).

12. а) у = 4 х ²; у= – х; б) = 2+sin .

13. а) у = 3 х ² – 2; у = х ²; б) = 2+cos .

14. а) у = х ² –х– 3; у=х; б) = 1 – cos 2 .

15. а) у = х ²; у=– 3 х+ 4; б) = 1 – sin .

16. а) у = 2 х ² – 1; у = х ²; б) = 1+cos 2 .

17. а) у = 4 – х ²; у= 2 х+ 1; б) = 1 – sin 2 .

18. а) у = х ² – 2 х– 4; у=х; б) = 1+cos 3 .

19. а) у = 3 х – х ²; у= 2 х; б) = 1+sin 3 .

20. а) у = х ²; у= – 2 х+ 3; б) = 2 (1+sin ).

Задача № 4

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравненими:

1. a) у= x ² – ln x, 1 2;

б) x= 5 (t – sin t), y= 5 (1 – cos x), 0 .

2. a) y= + arcsin x,0 7/9;

б) x= 2 cos t – cos 2 t, y= 2 sin t – sin 2 t, 0 /2.

3. a) у= – ln cos x, 0 7/9;

б) x= 4 (cos t +t sin t), y= 4 (sin t – t cos t), 0 /2.

4. a) y= + arccos x, 0 8/9;

б) x= 10 cos³ t, y= 10 sin³ t, 0 /2.

5. a) y= ln (1 – x ²), 0 1/4;

б) x= 3 (t – sin t), y= 3(1 – cos x), 0 /2.

6. a) y= 1 – ln cos x, 0 /4;

б) x= 3(cos t +t sin t), y= 3 (sin t – t cos t), 0 /3.

7. a) y= arcsin x – , 0 15/16;

б) x= 6 cos³ t, y= 6 sin³ t, /2 .

8. a) y= 1 – ln sin x, /3 /2;

б) x= 2,5 (t – sin t), y= 2,5 (1 – cos x), 0 /4.

9. a) y= 1 – ln (x ² – 1), 3 4;

б) x= 3,5 (2 cos t– cos 2 t), y= 3,5 (2 sin t – sin 2 t), 0 /2.

10. a) y= ln cos x + 2, 0 /6;

б) x= 8 cos³ t, y= 8 sin³ t, 0 /6.

11. a) y=x , 0 4;

б) x= (t– sin t), y= (1 – cos x), 0 /2.

12. a) y= , 0 a;

б) x= (2 cos t– cos 2 t), y= (2 sin t – sin 2 t), 0 /2.

13. a) у= 1 – ln cos x, 0 /3;

б) x= cos t +t sin t, y= sin t – t cos t, 0 /4.

14. a) y= ln (1 –x ²) – 1, 0 1/2;

б) x= t – sin t, y= 1 – cos t, 0 /4.

15. a) y= (1 – ), 0 1;

б) x= 0,1 cos³ t, y= 0,1 sin³ t, 0 /4.

16. a) y= (3+ ), 0 2;

б) x= (cos t +t sin t), y= (sin t – t cos t), 0 /4.

17. a) y= ln cos x + 5, 0 /6;

б) x= 2 cos³ t, y= 2 sin³ t, 0 /4.

18. a) y= - arcsin x, 0 24/25;

б) x= (cos t + sin t), y= (cos t – sin t), 0 /4.

19. a) y= ln sin x – 1, /4 /3;

б) x= cos t – cos2 t, y= sin t – sin2 t, /2 2 /3.

20. a) y= , 2 6;

б) x= (cos t + sin t), y= (cos t – sin t), 0 3 /2.

Задача № 5

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОX фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

 

1. у= 4 – х ²; у= 0. 11. у = 4 х – х ²; у= 0.

2. у = 4 х – х ²; у = 3. 12. у= 4 – х ²; у= – 2 х +4.

3. х ²+ у ²=4; х = 1. 13. х ²+ у ²=9; у= 3 –х.

4. у= 2 – х ²/2; у= 0. 14. у = 2 х – х ²; у= 0.

5. у= 2/ х; х = 2; х = 4; у= 0. 15. у= 2 – х ²; у= 2 –х.

6. у= х ² – 1; х = 3; у= 0 16. у= 3 – 2 х ²; у= 1.

7. у ²=4 –х; у= 0; х= 0. 17. у= 1/ х; х= 1; х = 2; у= 0.

8. х ²+ у ²=4; у=х +2. 18. х ² –у ²=1; х = 2.

9. у= 5 – х ²; у= 1. 19. у ²=4 –х; у= –х /2+2.

10. у= 4/ х; у= 0; х = 2; х= 4. 20. х ² –у ²=1; х = 2.

 

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ