Задачи для самостоятельного решения

Изохорный процесс

Уравнение изохорного процесса: .

Выражения для расчета:

- работы изменения объема ;

- количества теплоты ;

- изменения внутренней энергии ;

- изменения энтальпии ;

- изменения энтропии ;

Теплоемкость: с = с_u.

Графики процесса в рu и Ts – диаграммах представлены на рис 1. Схема распределения энергии в изохорном процессе представлена на рис. 2.

 

 

Рис. 1. Графики термодинамического процесса при u = const.

 

 

 

Изобарный процесс

Уравнение изобарного процесса: .

Выражения для расчета:

- работы изменения объема ;

- количества теплоты ;

- изменения внутренней энергии ;

- изменения энтальпии ;

- изменения энтропии .

Теплоемкость: с = с_р = с_u + R.

Графики процесса в рu и Ts – диаграммах представлены на рис 3. Схема распределения энергии в изобарном процессе представлена на рис. 4.

 

Рис. 3. Графики термодинамического процесса при p = const.

 

 

 

Изотермический процесс

Уравнение изотермического процесса: pu = const.

Выражения для расчета:

- работы изменения объема ;

- количества теплоты ;

- изменения внутренней энергии D u _1-2 = 0;

- изменения энтальпии D h _1-2 = 0;

- изменения энтропии .

Теплоемкость: с = ¥.

Графики процесса в рu и Ts – диаграммах представлены на рис 5. Схема распределения энергии в изотермическом процессе представлена на рис. 6.

 

Рис. 5. Графики термодинамического процесса при T = const.

 

 

Адиабатный процесс

Уравнение адиабатного процесса: .

Соотношения между основными параметрами в адиабатном процессе:

; ; .

Выражения для расчета:

- работы изменения объема

;

; ;

- количества теплоты q _1-2 = 0;

- изменения внутренней энергии ;

- изменения энтальпии ;

- изменения энтропии .

Теплоемкость: с = 0.

Графики процесса в рu и Ts – диаграммах представлены на рис 7. Схема распределения энергии в адиабатном процессе представлена на рис. 8.

Рис. 7. Графики термодинамического процесса при s = const.

Политропный процесс

Уравнение политропного процесса: ,

где – постоянная величина, называемая показателем политропы.

Соотношения между основными параметрами в политропном процессе:

; ; .

Выражения для расчета:

- работы изменения объема

;

; ;

- количества теплоты q _1-2 = c_n (T₂ – T₁);

- изменения внутренней энергии ;

- изменения энтальпии ;

- изменения энтропии .

Теплоемкость: .

Политропных процессов существует бесчисленное множество, так как и .

В таблице 1 представлены характеристики каждого процесса. При составлении этой таблицы было принято, что количество рабочего тела равно 1 кг, теплоемкость газа постоянна и четыре основных термодинамических процесса являются частными случаями политропного при соответствующих значениях n.

Таблица 1. Характеристики основных термодинамических процессов идеального газа

№ п.п.	Характеристика процесса	Наименование процесса
изохорный	изобарный	изотермический	адиабатный	политропный
	Показатель политропы	¥
	Уравнение процесса			pu = const	puk = const	pun = const
	Теплоемкость, кДж/(кг×К)	cu	cp = cu + R	¥
	Изменение внутренней энергии , кДж/кг	cu (T2 – T1)	cu (T2 – T1)		cu (T2 – T1)	cu (T2 – T1)
	Изменение энтальпии , кДж/кг	cp (T2 – T1)	cp (T2 – T1)		cp (T2 – T1)	cp (T2 – T1)
	Количество теплоты q 1-2, кДж/кг	cu (T2 – T1)	cp (T2 – T1)			cn (T2 – T1)
	Работа изменения объема l 1-2, кДж/кг		p (u2 – u1) = = R (T2 – T1)

Примеры решения задач

Задача 1. В закрытом сосуде емкостью V = 0,6 м³ содержится азот при давлении р₁ = 0,5 МПа и температуре t₁ = 20 °C. В результате охлаждения сосуда азот, содержащийся в нем, теряет 105 кДж теплоты. Принимая теплоемкость азота постоянной, определить, какие давление и температура (°C) устанавливаются в сосуде после охлаждения.

Решение.

Количество отводимой теплоты равно:

– Q = mc_u (t₂ – t₁).

Откуда следует, что температура азота после охлаждения будет равна:

.

Массу азота определим из уравнения Клапейрона:

Þ кг.

Массовая теплоемкость азота при постоянном объеме определяется как для двухатомного газа. По Приложению 1 ПЗ 4 с_u^М = 20,93 кДж/(кмоль×К):

кДж/(кг×К).

Тогда °C.

Так как азот охлаждался в емкости с постоянным объемом, то давление азота после охлаждения определим из уравнения для изохорного процесса:

Þ МПа.

 

Ответ: t₂ = – 20,7 °C, р₂ = 0,43 МПа.

 

Задача 2. В установке воздушного отопления внешний воздух при t₁ = – 15 °C нагревается в калорифере при р = const до 60 °C. Какое количество теплоты надо затратить для нагревания 1010 м³ наружного воздуха? Давление воздуха считать равным 755 мм рт.ст.

Решение.

Количество теплоты, подводимое к воздуху, будет равно:

Q = mc_р (t₂ – t₁).

Массу воздуха определим из уравнения Клапейрона:

Þ кг.

Массовая теплоемкость воздуха при постоянном давлении определяется как для двухатомного газа. По Приложению 1 ПЗ 4 с_р^М = 29,31 кДж/(кмоль×К):

кДж/(кг×К).

Тогда Q = mc_р (t₂ – t₁) = 1372 × 1,012 × (60 – (–15) = 104,2 МДж.

 

Ответ: Q = 104,2 МДж.

 

Задача 3. 25 кг воздуха при t = 27 °C изотермически сжимаются до тех пор, пока давление не становится равным 4,15 МПа. На сжатие затрачивается работа L = – 8,0 МДж. Найдите начальное давление и объем, конечный объем и теплоту, отведенную от воздуха.

 

Решение.

Так как при изотермическом процессе D U = 0, то Q = L = – 8,0 МДж.

Начальное давление определим из выражения по определению количества теплоты для изотермического процесса:

Þ .

Подставив в полученную формулу , окончательно получим:

МПа.

Начальный объем определим из уравнения Клапейрона:

Þ м³.

Конечный объем определим из уравнения изотермического процесса:

Þ м³.

 

Ответ: р ₁ = 0,101 МПа, V ₁ = 21,3 м³, V ₂ = 0,518 м³, Q = – 8,0 МДж.

 

Задача 4. В двигателе Дизеля топливо, впрыскиваемое в цилиндр, самовоспламеняется при соприкосновении со сжатым воздухом, имеющим температуру большую, чем температура воспламенения топлива.

Определите минимальную необходимую степень сжатия e = u ₁/ u ₂ и давление в конце сжатия р₂, если температура воспламенения топлива равна 630 °C. Перед началом сжатия воздух в цилиндре имеет параметры р ₁ = 0,097 МПа, t₁ = 60 °C. Сжатие считать адиабатным. Задачу решить, не учитывая зависимости теплоемкости от температуры и принимая k = 1,40.

 

Решение.

Давление в конце сжатия определим из уравнения адиабатного процесса:

Þ МПа.

Отношение u ₁/ u ₂, то есть степень сжатия e определим из другого уравнения адиабатного процесса:

Þ .

 

Ответ: р ₂ = 3,19 МПа, e = 12,1.

 

 

Задача 5. Азот массой 1 кг в начальном состоянии имеет параметры р ₁ = 2,5 МПа и t ₁ = 700 °C. После политропного расширения (показатель политропы n = 1,18) его давление р ₂ = 0,1 МПа. Определите изменение внутренней энергии D u _1-2, количество теплоты q _1-2, сообщенное азоту в процессе 1-2, и работу расширения l _1-2.

Решение.

Сначала определим температуру газа в конце процесса расширения:

Þ К.

Изменение удельной внутренней энергии при совершении политропного процесса определяется по формуле:

D u _1-2 = c_u (T₂ – T₁) = кДж/кг.

Удельное количество теплоты, сообщенное азоту в процессе 1-2, при совершении политропного процесса определяется по формуле:

q _1-2 = c_n (T₂ – T₁) = ,

где – показатель адиабаты для двухатомных газов.

Тогда q _1-2 = кДж/кг.

Удельная работа расширения при совершении политропного процесса определяется по формуле:

l _1-2 = кДж/кг.

Проверку сделаем по уравнению первого закона термодинамики:

D u _1-2 = q _1-2 – l _1-2 = 345 – 624 = –279 » –283 кДж/кг, т.е. задача решена верно.

 

Ответ: D u _1-2 = –283 кДж/кг, q _1-2 = 345 кДж/кг, l _1-2 = 624 кДж/кг.

Задачи для самостоятельного решения

1. Азот в количестве 10 м³ (приведенный к нормальным условиям) заключили в герметичный сосуд и нагрели до температуры t₁ = 1450 °С. Давление при этом стало равным 3,8 МПа. Затем газ охладили до температуры t₂ = 47 °С. Каким стало давление после охлаждения и сколько теплоты отведено?

 

2. В цилиндре, площадь поперечного сечения которого равна 1 дм², под поршнем находится 0,5 кмоля азота при t₁ = 63 °С. Поршень находится под постоянной внешней нагрузкой F = 2 кН. Газу извне сообщается теплота Q = 6300 кДж, вследствие чего она расширяется, отодвигая поршень.

Определите параметры р, u, t в конце процесса, изменение внутренней энергии, изменение энтальпии и работу расширения, совершенную газом.

 

3. Азот с приведенным к нормальным условиям объемом V_н = 3,5 м³ находится в первоначальном состоянии при р₁ = 0,11 МПа и t₁ = 25°С. Его подвергают изотермическому сжатию до давления р₂ = 2,4 МПа.

Найдите удельные объемы в начальном и конечном состояниях, работу, затраченную на сжатие, и теплоту, отведенную от газа.

 

4. Азот из баллона емкостью 0,05 м³ выпускается в атмосферу настолько быстро, что теплообмен между ней и азотом в баллоне не успевает совершится. До выпуска давление в баллоне было р₁ = 1,2МПа и температура t₁ = 27°С. После закрытия вентиля температура в баллоне стала t₂ = 0°С. Какова масса выпущенного азота и каким стало давление в баллоне после выпуска?

 

5. Поршневой компрессор (в условиях, приведенных к нормальным условиям) производительностью V_tн = 2100 м³/ч засасывает воздух, параметры которого р₁ = 0,1 МПа t₁ = 25°С, и сжимает его до р₂ = 0,9 МПа. Процесс сжатия политропный, с показателем политропы n = 1,2.

Определите, какое количество воды в час нужно пропустить через охлаждающую рубашку цилиндра, если вода нагревается на D t = 15°С.