Формальная теория вероятности может быть создана на основе трех аксиом:
- Аксиома 1. В этой аксиоме утверждается, что областью определения вероятности события (Е) есть действительные числа от 0 до 1. Отрицательные значения вероятности не допускаются. Достоверной события присваивается вероятность 1, а невозможной события — вероятность 0:
0<P(E)<1 - Аксиома 2. В данной аксиоме утверждается, что сумма вероятности всех событий, независимых друг от друга, что называются взаимоисключающими событиями, равно 1:
- Аксиома 3. В этой аксиоме указано, что если события Е 1 и Е 2 не могут возникать одновременно (т.е. являются взаимоисключающими событиями), то вероятность возникновения того или иного события равна сумме вероятностей этих событий:
Приведенные аксиомы позволили заложить фундамент теории вероятности, однако в них не рассматривается вероятность событий, происходящих в реальных — неидеальных системах. В отличие от априорного подхода, в реальных системах, для определения вероятности некоторого события Р(Е), применяется способ определения экспериментальной вероятности как лимита распределения частот:
Апостериорная вероятность
В этой формуле f(E) обозначает частоту появления некоторого события между N -го количества наблюдений общих результатов. Вероятность такого типа называется также апостериорной вероятностью, т.е. вероятностью, определяемой «после событий». В основу определения апостериорной вероятности положено измерение частоты, с которой возникает некоторое событие при проведении большого количества испытаний. Например, определение социального типа кредитоспособного клиента банка на основе эмпирического опыта.
События, которые не относятся к взаимоисключающих, могут влиять друг на друга. Такие события относятся к классу сложных. Вероятность сложных событий может быть вычислена путем анализа соответствующих им выборочных пространств. Эти выборочные пространства могут быть представлены с помощью диаграмм Венна, как показано на рис. 1
Рис.1 Выборочное пространство для двух не взаимоисключающих событий
Вероятность наступления события А, которая определяется с учетом того, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А|В). Условная вероятность определяется следующим образом:
Априорная вероятность
В этой формуле вероятность Р(В) не должна равняться нулю, и представляет собой априорную вероятность, что определяется до того, как станет известна другая дополнительная информация. Априорную вероятность, что применяется в связи с использованием условной вероятности, иногда называют абсолютной вероятностью.
Существует задача, которая является по сути противоположной задачи вычисления условной вероятности. Она заключается в определении обратной вероятности, которая показывает вероятность предыдущей события с учетом тех событий, которые произошли в дальнейшем. На практике с вероятностью такого типа приходится встречаться довольно часто, например, при проведении медицинской диагностики или диагностики оборудования, при которой выявляются определенные симптомы, а задача состоит в том, чтобы найти возможную причину.
Для решения этой задачи применяется теорема Байеса, названная в честь британского математика XVIII века Томаса Байеса. Байесивськая теория, в наши дни, широко используется для анализа деревьев решений в экономике и общественных науках. Метод байесовского поиска решений применяется также в экспертной системе PROSPECTOR при определении перспективных площадок для разведки полезных ископаемых. Система PROSPECTOR приобрела широкую популярность как первая экспертная система, с помощью которой был открыт ценное месторождение молибдена, что стоимость 100 миллионов долларов.
Общая форма теоремы Байеса может быть записана в терминах событий (Е) и гипотез (Н), в следующем виде:
