Программа экзамена по алгебре
Специальность «Компьютерная безопасность»
Третий семестр, второй курс
Учебный год
Раздел 1. Группы. Определение группы, примеры: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа, знакопеременная группа, аддитивная группа кольца, мультипликативная группа кольца (поля), группа корней из единицы, четверная группа Клейна (группа симметрий ромба), циклические аддитивные группы Ζn, группы симметрий фигур в евклидовых пространствах, группы диэдра, группа кватернионов. Подгруппы: определения и примеры. Целая степень элемента и ее свойства. Циклическая подгруппа, порожденная элементом группы. Порядок элемента: определение, примеры и эквивалентная характеристика. Свойства порядка элемента. Экспонента группы. Экспонента конечной группы. Существование элемента в конечной абелевой группе, порядок которого равен экспоненте группы. Сопряжённые элементы, свойства сопряжения, классы сопряжённости. Левые и правые смежные классы по подгруппе: определение, примеры, свойства. Индекс подгруппы и его мультипликативность. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Сопряженные элементы в группе и их свойства. Нормальные подгруппы: два определения, примеры. Нормальность подгрупп индекса 2. Конструкция факторгруппы, примеры: группа вычетов по модулю, факторгруппа симметрической по знакопеременной группе. Гомоморфизмы групп и их элементарные свойства, примеры. Ядро и образ гомоморфизма, примеры. Типы гомоморфизмов групп: моно-, эпи-, изоморфизм. Критерий мономорфизма. Канонический эпиморфизм группы на ее факторгруппу. Канонический изоморфизм, иллюстративные примеры, изоморфность циклических групп одного порядка. Таблица Кэли для конечной группы, ее свойство, примеры. Теорема Кэли, примеры. Прямое произведение групп, прямая сумма аддитивных абелевых групп, прямая сумма (прямое произведение) двух циклических групп взаимно простого порядка. Теорема о строении конечной абелевой группы (доказательство на «отлично»). Разложение конечных абелевых групп в прямую сумму циклических групп примарного порядка, классификация абелевых групп данного порядка. Система образующих подгруппы и группы. Лемма «о словах». Примеры. Минимальная система образующих группы. Пример: минимальные системы образующих симметрической группы (произвольной степени на «отлично», степени три обязательно). Внутреннее задание группы: генетический код группы, примеры.
Раздел 2. Кольца и идеалы. Коммутативные кольца с единицей. Области целостности и кольца с делителями нуля, примеры. Нильпотенты кольца, примеры. Мультипликативная группа кольца. Идеал кольца: определения и примеры, простейшие свойства. Главные идеалы, примеры (кольцо целых чисел, кольцо многочленов над полем). Пример кольца, не являющегося кольцом главных идеалов. Конструкция факторкольца, примеры (кольцо вычетов по модулю, факторкольцо кольца многочленов, примеры, критерий того, что факторкольцо кольца многочленов является полем). Гомоморфизмы колец, примеры. Свойства ядра и образа гомоморфизма колец. Типы гомоморфизмов колец: эпи-, моно- и изоморфизм. Канонический изоморфизм колец. Примеры гомоморфизмов колец: гомоморфизм кольца целых чисел в произвольное кольцо, гомоморфизм вычисления значения многочлена в точке.
Раздел 3. Элементы общей теории полей. Простые поля, классификация простых полей. Определение характеристики поля. Отображение Фробениуса для полей положительной характеристики, доказательство гомоморфности отображения Фробениуса, автоморфизм Фробениуса в случае конечного поля. Расширения полей. Степень расширения полей и ее мультипликативность. Конечные расширения. Алгебраические и трансцендентные элементы над полем. Простые расширения. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Теорема о структуре простого расширения и следствия из нее (изоморфность двух простых расширений с помощью корней одного и того же неприводимого над основным полем многочлена, степень простого расширения, критерий алгебраичности элемента, теорема о существовании поля разложения произвольного многочлена положительной степени с коэффициентами из основного поля).
Раздел 4. Конечные поля. Конечные поля как конечные расширения полей вычетов по простому модулю. Число элементов конечного поля. Существование поля из q=pn элементов. Конечное поле как поле разложения характеристического многочлена. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Примитивный элемент конечного поля. Единственность с точностью до изоморфизма поля Fq. Критерий подполя конечного поля и классификация подполей конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Свойства неприводимых многочленов над конечными полями. Критерий Батлера неприводимости многочлена над конечным полем и его реализация. Количество унитарных неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Специальные операции s и t в кольце многочленов над конечным полем и их свойства. Примитивные многочлены: эквивалентные определения. Экспонента неприводимого многочлена над конечным полем и ее свойства. Критерий примитивности многочлена над конечным полем. Общий алгоритм построения конечного поля, примеры.
Раздел 5. Линейные рекуррентные последовательности. Последовательности над коммутативными кольцами и операции над ними: сумма последовательностей, умножение последовательности на элемент основного кольца. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП) над кольцом с данным характеристическим многочленом, примеры (арифметическая и геометрическая прогрессии, числа Фибоначчи). Свойства семейства LR(F), базис семейства LR(F), критерий базиса и пример базиса. Умножение последовательности на многочлен и свойства этой внешней операции. Характеристическое описание семейства LR(F). Бесконечность множества характеристических многочленов для данной ЛРП. ЛРП вида eF, генератор данной ЛРП из LR(F) и его явное задание. Минимальные многочлены для ЛРП, пример неоднозначности минимального многочлена. Аннулятор последовательности и его свойства. Критерий однозначной определённости минимального многочлена, единственность минимального многочлена ЛРП над полем, над кольцом целых чисел. Некоторые способы построения ЛРП с заданным минимальным многочленом, пример – биномиальная последовательность как ЛРП с данным биномом как единственным минимальным многочленом. Способы вычисления минимальных многочленов для ЛРП над полем. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами. Взаимно простые многочлены над кольцом и их свойства. Теорема о прямой сумме семейств ЛРП с взаимно простыми характеристическими многочленами. Пересечение двух семейств ЛРП над полем. Биномиальный базис пространства ЛРП над полем. Пример – формула Бине для последовательности Фибоначчи. Периодические последовательности, всякая периодическая последовательность над кольцом – это ЛРП, обращение этого утверждения для конечного кольца. Период последовательности, длина подхода последовательности и их свойства, теорема о параметрах периодической последовательности, теорема о сумме двух периодических последовательностей. Периодические многочлены, реверсивные многочлены. Критерий периодичности многочлена над произвольным кольцом. Свойства периодических многочленов над произвольным и конечным кольцом. Вычисление периода и длины подхода ЛРП над конечным полем. Теорема о параметрах нормированного многочлена над конечным полем. ЛРП максимального периода над конечным полем.
Программу составил доцент
кафедры алгебры и геометрии С. Ю. Попов 6 декабря 2012 года