Федеральное агентство по образованию
Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Куршакова О.В.
__________________
Научный руководитель:
кандидат физ.-мат. наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Понарин Я.П.
__________________
Рецензент:
ст. преподаватель кафедры алгебры и геометрии
Суворов А.Н.
__________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ________________ Вечтомов Е.М.
«» _______________
Декан факультета ______________ Варанкина В.И.
«»_______________
Киров 2005
Оглавление
Предисловие........................................................................................................................................... 2
Глава i. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.......................................................................................... 3
§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах.................................................................................................................................................................. 3
1.1. Определение аффинного преобразования................................................................................ 3
1.2. Формула аффинного преобразования....................................................................................... 3
§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании................................................... 4
§ 3. Формула обратного преобразования......................................................................................... 5
§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований.......................................................... 6
§5. Свойство площадей треугольников............................................................................................ 7
§6. Род аффинного преобразования................................................................................................... 8
6.1. Ориентация плоских фигур........................................................................................................ 8
6.2. Ориентация пар векторов........................................................................................................... 8
§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований............................... 10
7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований.................................................................. 10
7.2. Двойные прямые аффинных преобразований........................................................................ 12
глава ii. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах....................................................................................... 15
§1. Преобразование подобия............................................................................................................. 15
§2. Преобразование родства.............................................................................................................. 16
2.1. Понятие преобразования родства............................................................................................ 16
2.2. Сжатие и его частные виды...................................................................................................... 18
2.3. Сдвиг........................................................................................................................................... 19
§3. Эллиптический поворот.............................................................................................................. 21
§4. Параболический поворот............................................................................................................ 24
§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов.......... 25
Библиографический список.............................................................................................................. 28
Предисловие
Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.
Теория аффинных преобразований впервые была рассмотрена Дарбу. В данной работе эта теория изложена методом комплексных чисел.
В работе рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем.
Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства.
Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах
Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах
Определение аффинного преобразования
Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.
Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1]
Формула аффинного преобразования
Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z’ образа данной точки M(z) через координату z этой точки М.
Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:
где 
(1)
Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1): 
, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим 
. Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy:
Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:
. Введя обозначения 
, 
, 
и учитывая, что 
и 
, имеем выражение комплексной координаты z’ точки M’ через комплексную координату её образа z точки M: 
. Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований определитель примет вид: 
, откуда, воспользовавшись введёнными обозначениями коэффициентов аффинного преобразования, имеем: 
. Таким образом, формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах имеет вид:
, где 
(2)