Пусть оператор задан в координатном представлении и переводит функцию в функцию :
Разложим функции и в ряд по собственным функциям оператора . Спектр собственных значений этого оператора для определенности будем считать дискретным
:
Совокупность амплитуд есть волновая функция в -представлении, совокупность амплитуд - волновая функция в -представлении. Подставим разложение (3.3.2) и (3.3.3) в (3.3.1):
Умножим левую и правую части этого равенства на и проинтегрируем по всей области изменения независимых переменных. Знаки суммирования и интегрирования меняем местами. Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, т.е.
, имеем
Вводя обозначение
получаем
Если спектр оператора непрерывен, имеем аналогично
Таким образом, с помощью набора величин можно волновую функцию в - представлении, являющуюся совокупностью амплитуд, превратить в волновую функцию в том же представлении. Поэтому совокупность величин является оператором в - представлении. Его можно представить в виде матрицы:
Величины называют матричными элементами. В обозначениях Дирака
Итак, операторы квантовой механики могут быть представлены в матричной форме. Поскольку в квантовой механике применяются только эрмитовы операторы, удовлетворяющие условию, т о.
Такие матрицы называют самосопряженными или эрмитовыми.
Таким образом, каждой физической величине соответствует не один, а множество операторов. Вид оператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных. Зная оператор физической величины в одном представлении, можно найти его в других представлениях. Например, если известен вид оператора в -представлении, то для получения его в матричной форме в -представлении надо воспользоваться собственными функциями оператора в -представлении в соответствии с формулой (3.3.4). Свойства физической величины (эрмитовость ее оператора, спектр собственных значений, среднее значение и т.д.) не зависят от выбора представления. (Аналогия с принципом относительности Эйнштейна: законы природы инвариантны (неизменны) при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой).
Пример. Найти матричные элементы оператора в его собственном представлении.
В этом случае в (3.3.4) – собственная функция оператора :
С помощью этого уравнения преобразуем выражение для матричного элемента (3.3.4):
Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, получаем: . Таким образом, в своем собственном представлении любой оператор в матричной форме является диагональной матрицей, диагональные элементы которой равны собственным значениям этого оператора:
Итак, чтобы найти собственные значения оператора, заданного в форме матрицы, нужно привести эту матрицу к диагональному виду.
Пример. Записать среднее значение физической величины, представляемой оператором , в матричной форме.
Пусть в выражении
волновая функция и оператор заданы в координатном представлении. Перейдем к - представлению. Воспользуемся разложением (3.3.2) функции в ряд по собственным функциям оператора . Подставляя в выражение для среднего значения и меняя местами знаки суммирования и интегрирования, получаем
Совокупность есть матрица с одним столбцом. Совокупность - сопряженная матрица с одной строкой. Поэтому (3.3.8) можно записать как произведение соответствующих матриц:
где - оператор в - представлении.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют индексом состояния? индексом представления?
2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?
3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении?
4. Определите понятие матричного элемента оператора.
5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении?
6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между и ?
7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией?
8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в - представлении и в - представлении, если ее вектор состояния .
9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению?
10. Записать в матричной форме (в - представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующей оператору .
Упражнения
3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении.
Решение. Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси . В координатном представлении
, (см §2.7).
В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении . Найдем оператор координаты.
Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:
(I)
В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением
,
Где
- собственная функция оператора в координатном представлении. Поэтому
(II)
Подставляем это выражение в левую часть равенства (I):
(III)
Множитель в подынтегральном выражении правой части равенства найдем из соотношения:
.
Получаем:
.
Пользуясь этим соотношением, преобразуем правую часть равенства (III):
(IV)
При интегрировании по получаем
,
так как и . (Состояние с бесконечно большим импульсом невозможно.) Учитывая этот результат, перепишем равенство (IV):
(V)
Так как
=
правую часть соотношения (V) можно переписать в виде
Используя свойство -функции (2.6.3) находим интеграл по :
Учитывая сделанные преобразования, переписываем равенство (V):
Сравнивая это выражении с соотношением (I) получаем
Способ 2. В матричной форме оператор координаты в импульсном представлении является бесконечной непрерывной матрицей с матричными элементами:
Здесь - собственная функция оператора импульса в координатном представлении
Подставляя значение функции в формулу для матричного элемента, получаем
Соотношение
показывает как оператор в матричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении в другую также в импульсном представлении (См(3.3.6)). Подставляем в правую часть этого соотношения значение матричного элемента и интегрируем по частям:
Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второе слагаемое преобразовываем, используя свойство -функции (2.6.3):
Поэтому
Следовательно, координате в импульсном представлении соответствует дифференциальный оператор