Асаева Т.А.
Дворянкина С.С.
Болонина Ю. В.
ВЕРОЯТНОСТЬ ВОКРУГ НАС
Вероятность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.
Ключевые слова: вероятность, статистика, гипотеза, исследование, идея.
Вы не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это невозможно”, это обязательно случиться”, “это маловероятно”
Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти
Мы считаем эту тему актуальной по ряду причин:
1) случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
2) теория вероятностей используется в области социально-экономических явлений, а также необходима при решении многих технических задач.
Корни теории вероятностей уходят далеко в глубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.
Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм.
Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.
В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.
В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.
Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований:
- разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;
- развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;
- развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;
- широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.
Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.
В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации – при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д.
В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Разработаны рекомендации по выбору статистического метода для анализа конкретных данных
Роль случайности
Главное в жизни часто следствие маловероятных событий — раз. Зачастую их нельзя получать алгоритмически – два.
Мало того, что наша жизнь производная от смешного снитча. Его поимка отчасти зависит от того, что мы делаем. Вопрос, насколько она, кроме этого, зависит от случайности?
В книгах о Гарри Поттере этой игрой на волшебных метлах увлечено всё его учебное заведение. Что-то вроде баскетбола с закидыванием мяча в кольцо, только надо летать. При этом два игрока от каждой команды, ловцы, не гоняются за мячом, а ловят снитч – маленький сам-себе порхающий шарик. Каждый мяч в кольцо противника дает 10 очков, поимка снитча дает сразу 150. Игра идет до тех пор, пока не поймается этот снитч. Обычно мало какая команда успевает набрать на 150 очков больше, чтобы всё не решала поимка снитча. Его могут поймать в начале игры, могут летать до ночи, но обычно разница очков всегда меньше 150, так что вся команда занята ерундой, кроме единственного, кто ловит снитч. Представьте, что в баскетболе все кидают в кольцо за 2 и 3 очка, но два игрока при этом гоняют шайбу, игра до первой забитой шайбы, гол дает сразу 30 очков, а лучше 100. Понятно, что все баскетболисты могут отправиться на трибуны и оттуда болеть за своего хоккеиста. Вот квиддич – тоже самое. Удивительно, что волшебный мир столетиями был увлечен столь абсурдной игрой.
Но у них есть выбор, в квиддич можно и не играть. Мы же с рождения обречены на что-то подобное. Упорно закидываем мячи в кольцо, уверенно лидируем со счетом 100:50, а где-то порхает снитч, и наша погибель ловит его первой. Или мы можем жестоко проигрывать по очкам, но наш ловец первым ловит маленький золотистый шарик, и игра сделана.
Вот, предположим, человек поступает в вуз в своем регионе, далее идет куда-то на стажировку, составляет портфолио, делает карьеру, всё идет постепенно, вот зарплата 20 тысяч рублей, 30, 50, 100, вот кризис, его увольняют, зарплата снова средняя по стране. Вот он прокачивает скиллы, проходит тренинг, знакомится с нужными людьми, вот зарплата снова растет. Так прошли, например, 17 лет стратегической позиционной борьбы, а потом человек посылает всё к черту, затевает какой-то неожиданный бизнес и за первый год делает прибыль 20 миллионов, больше, чем за всю жизнь до того. Выясняется, что всё было ерундой и стоило сразу заняться снитчем.
История не только про работу. Заменим слово «карьера» на слова «личная жизнь», и легко представим тот же сюжет.
Теория вероятности в реальной жизни
В реальной жизни, где роль случайности велика, люди обычно недооценивают масштаб нужной выборки.
Как случайность становится закономерностью, прекрасно показывает технология соцопроса. Если нужно узнать, какой процент горожан города Гадюкинска поддерживает его мэра, бесполезно спрашивать одного прохожего. Его ответ не даст вообще ничего, но достаточное число опрошенных даст нам очень точную картину. Возьмем пример из книги Леонарда Млодинова «(Не)совершенная случайность», немного перефразировав. Допустим, в Гадюкинске мэра поддерживает ровно 60% населения. Сколько человек надо опросить, чтобы результат попал в нишу от 58% до 62% с вероятностью 99,9%? Математик, знакомый с теорией вероятности, назовет точную цифру – 25.5 тысячи человек. Правда, в Гадюкинске может вообще не проживать столько народу… Ладно, пусть нас устроит меньшая точность: с вероятностью 95% не ошибиться более чем на 2%. Сколько надо опросить? Задача уже становится проще, данная точность достигается при опросе 370 человек. Однако если спросить жителя самого Гадюкинска, сколько гадюкинцев ему хватит для точной картины, вряд ли он будет опрашивать более ста человек, и есть риск, что удовлетворится ответами первых десяти. Семь человек ему скажут, что мэр плохой, и этого ему хватит.
Причем здесь гадюкинцы? Напомню, чем мы заняты: по сути, ищем ответ на вопрос о справедливости мира.
Сколько испытаний в «зоне квиддича» надо провести, чтобы наши достоинства хоть как-то начали соответствовать нашим успехам?
Десятки, а лучше сотни, вспомним про минимально опрошенных 370 гадюкинцев. Вот если автор написал книгу, а ему отказали в десяти издательствах, можно ли сказать, что книга плохая, то есть обреченная на провал, если её издать? Сказать можно. Но это будет не более, чем опрос десяти гадюкинцев касательно их главы.
Возвращаясь к примеру, с президентом: всенародно избранным лидером страны всегда является случайный человек (и просим не воспринимать это как критику кого-либо из живых президентов, речь о более важном, чем любой из них). «Случайный» означает, что результат мало обусловлен свойствами человека и его поведением. В большой стране даже самый сильный политик обладает не более 1% того, что можно назвать «внутреннее соответствие должности президента». Просто в силу того, что есть еще тысячи человек с какими-то своими долями процента, в сумме ограниченных 100%. И пусть действующий президент обладает большим процентом, чем случайный кандидат, он ведь не обладает 51%, чтобы говорить о заслуженной победе, а не случайном выигрыше.
Поясним, что больше подходит под определение заслуженной победы: поступление в аспирантуру, принадлежность к среднему классу, обладание кошкой или автомобилем. То есть достижение чего-то не редкого. А любая редкость, даже вроде бы объективная, как чемпионство в спорте, есть результат нескольких, или хотя бы одного, но очень жирного снитча.
В результате проделанной работы, мы добились реализации поставленных перед собой целей:
Во-первых, подробно изучили теорию вероятностей.
Во-вторых, поняли, что теория вероятностей - это целая наука, в которой, казалось бы, нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агекян, Т. А. Теория вероятностей для астрономов и физиков / Т.А. Агекян. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2016. - 264 c.
2. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. - Москва: Высшая школа, 2015. - 432 c.
3. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. - М.: Наука, 2015. - 376 c.
4. Гренандер, У. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики / У. Гренандер, В. Фрайбергер. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2016. - 192 c.
5. Жевержеев, В. Ф. Специальный курс математики для вузов / В.Ф. Жевержеев, Л.А. Кальницкий, Н.А. Сапогов. - М.: Высшая школа, 2016. - 416 c.
6. Каган, А. М. Характеризационные задачи математической статистики / А.М. Каган, Ю.В. Линник, С.Р. Рао. - М.: Наука, 2017. - 656 c.
7. Колмогоров, А. Н. Введение в теорию вероятностей: моногр. / А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров. - М.: МЦНМО, 2015. - 168 c.
Сведения об авторах:
Дворянкина Светлана Сергеевна – студент 2 курса, Рязанский институт (филиал) Московского политехнического университета, Рязань;
Болонина Юлия Вадимовна – студент 2 курса, Рязанский институт (филиал) Московского политехнического университета, Рязань;
Асаева Татьяна Александровна – заведующая кафедрой,доцент, кандидат физико-математических наук, Рязанский институт (филиал) Московского политехнического университета, Рязань.