Лекция №5 (продолжение)
Скалярное произведение векторов
I. Определение
def. Скалярным произведением векторов 
и 
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
. (1)
Придадим (1) другой вид (по свойству 1 проекций).
- проекция на ось, определяемую .
- проекция на ось, определяемую .
. (2)
II. Свойства скалярного произведения
1. Коммутативность умножения: 
.
Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно следует из определения скалярного произведения.
2. Ассоциативность относительно скалярного множителя:
.
Доказательство.
1) Пусть 
Тогда
2) 
Доказать самостоятельно.
3. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
Доказательство.
Пример 7.1. Векторы и образуют угол 
Зная, что 
вычислить 
Условие перпендикулярности векторов
По определению 
, если 
или 
, или 
, т.е. 
. Пусть 
и 
– ненулевые векторы. Тогда
.
Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
Пример 7.2. При каком значении 
векторы 
и 
ортогональны, если 
? Ответ: 
III. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Даны два вектора = ax 
+ ay 
+ az 
и = bx + by + bz . Найти 
.
Найдем предварительно скалярное произведение ортов.
Тогда
- скалярное произведение векторов, заданных координатами.
Если , то 
условие перпендикулярности векторов, заданных координатами.
Пример 7.3. При каком значении c векторы 
и 
взаимно перпендикулярны.
IV. Угол между векторами в пространстве
По определению 
, значит
.
Если векторы заданы координатами, т. е. = ax + ay + az и = bx + by + bz , то
.
Пример 7.4. Даны вершины четырехугольника А (1, -2, 2), В (1, 4, 0), С (-4, 1, 1),
D (-5, -5, 3). Вычислить угол 
между его диагоналями. Ответ: 
V. Приложение скалярного произведения к механике
Если материальна точка, на которую действует сила 
совершает перемещение по вектору 
, то работа А равна скалярному произведению и .
.
Пример 7.5. Вычислить работу равнодействующей сил 
приложенных к материальной точке, которая под их воздействием перемещается прямолинейно из т. М1 (4, 2, -3) в т. М2 (7, 4, 1).
Решение. 
, 
Векторное произведение векторов
I. Определение
def. Векторным произведением вектора 
на вектор называется вектор 
, который определяется следующим образом:
1) модуль вектора 
численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах
2) вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. 
3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему пути от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.
(
ориентированы как 
- прав. тройка).
Обозначается: 
или 
.
Частные случаи: 
 |
II. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак
Доказательство. Пусть 
Тогда
1) 
, так как равны площади параллелограммов, построенных на векторах и ;
2) Векторы 
и 
перпендикулярны векторам и ;
3) Векторы и коллинеарны, но противоположно направлены.
Из (1)-(3) следует, что 
, то есть
2. 
- ассоциативность относительно скалярного множителя, т.е. числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.
3. 
- дистрибутивность векторного умножения относительно сложения.
4. Условие коллинеарности векторов. Векторное произведение равно нулевому вектору, если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой или синус угла между ними равен нулю, т.е. векторы коллинеарны.
Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
