ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ
В общем случае линия пересечения поверхностей многогранников представляет собой пространственную замкнутую ломаную линию, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской.
Построение линии пересечения поверхностей двух многогранников сводится к построению точки пересечения ребер одного многогранника с ребрами или гранями другого.
Примеры построения линии пересечения многогранников
Пересечение поверхностей призм
В рассматриваемом примере ребра призм взаимно перпендикулярны (рис. 1). Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают соответственно с горизонтальной проекцией пятиугольной призмы и с профильной проекцией части четырехугольной призмы. Фронтальную проекцию ломаной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.
Рис. 1.
Например, взяв горизонтальную 1 и профильную 1² проекции точки 1 пересечения ребра пятиугольной призмы с гранью четырехугольной и пользуясь известным приемом построения, с помощью линий связи можно легко найти фронтальную проекцию 1¢ точки 1 (рис. 1а).
Изометрическая проекция двух пересекающихся призм (рис. 1б) строится в следующей последовательности:
Строят изометрическую проекцию вертикальной призмы.
Строят изометрическую проекцию линии пересечения, используя координаты точек, принимая за начало координат точку О, лежащую на верхнем основании пятиугольной призмы.
Строят основание четырехугольной призмы. Для этого от точки F параллельно оси х откладывают отрезок n, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводят прямую, параллельную оси y и откладывают на ней отрезок С. Вниз параллельно оси z откладывают отрезок, равный К.
Параллельно оси у проводят видимые части боковых ребер четырехугольной призмы.
Соединяют концы боковых ребер, проводят видимые ребра второго основания четырехугольной призмы.
Пересечение поверхностей призмы и пирамиды
Построение линии пересечения поверхностей четырехугольной призмы и четырехугольной пирамиды показано на рис. 2.
Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией призмы.
Горизонтальную и профильную проекции линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с ребрами или гранями другого (рис. 2а).
Точки 1, 3, 5 и 7 являются точками пересечения боковых ребер пирамиды с боковыми гранями призмы. Фронтальные проекции их очевидны, горизонтальные и профильные проекции этих точек находятся на соответствующих проекциях ребер пирамиды.
Точки 2, 4, 6 и 8 являются точками пересечения ребер пирамиды с ребрами призмы. Фронтальные и профильные проекции их очевидны, горизонтальные проекции находят на пересечении линий связи.
Последовательность построения аксонометрической (диметрической) проекции следующая
(рис. 2б):
Строят диметрическую проекцию пирамиды.
Строят основание призмы. Для этого с помощью координат z и х строят точки О1 и О3, проводя прямые параллельные у и z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину диагонали четырехугольника, основания призмы. Концы диагоналей соединяют.
Строят диметрическую проекцию линии пересечения. Диметрические проекции точек пересечения ребер призмы и пирамиды 2, 4, 6, 8 получаются без дополнительных построений (рис. 2б). Диметрические проекции точек 1, 3, 5, 7 строят по их координатам (рис. 2в).
Рис. 2.
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
На рис. 3 показано построение проекции линии пересечения поверхности треугольной призмы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые грани призмы перпендикулярны плоскости проекций V (рис. 3а), поэтому фронтальная проекция линии пересечения поверхностей этих тел совпадает с фронтальной проекцией боковых граней призмы. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра и является окружностью. Профильные проекции точек А и Е находим по горизонтальным и фронтальным проекциям при помощи линий связи. Для построения проекций промежуточных точек В, С, D используем вспомогательные секущие плоскости Рv, Рv1 и Рv2, которые рассекают поверхность цилиндра по окружности, а поверхность призмы по прямым линиям. Окружности и прямые, пересекаясь между собой, дают точки В, С и D.
Рис. 3.
В данном примере можно обойтись без вспомогательных секущих плоскостей, помечая произвольно на фронтальной проекции линии пересечения точек b¢, c¢, d¢. Опуская линии связи на горизонтальную проекцию, находим горизонтальные проекции точек b, c, d.
На рис. 3б показано построение изометрической проекции. После построения изометрической проекции цилиндра, используя размеры m и n, строят изометрическую проекцию основания призмы, а затем достраивают ее до конца. На рис. 3а изображена модель пересекающихся тел и определены точки линии пересечения с применением секущих плоскостей.
Точки А, В, С, D, Е и им симметричные точки строятся по координатам, взятым с комплексного чертежа. Соединяются точки линии пересечения с помощью лекала.
2.2.2. Пресечение цилиндрических поверхностей
При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей, оси которых взаимно перпендикулярны.
На рис. 4 показано построение линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций.
В начале построения, как известно, находят проекции очевидных точек 1, 7 и 4.
Построение проекций промежуточных точек показано на рис. 4а. Если в данном случае принять общий способ построения линии пересечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилиндрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересечения: точки 2, 3, 5.
Однако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям.
Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью – профильной проекцией малого цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны (рис. 4б).
Например, по горизонтальной проекции точки 3 находят профильную проекцию 3². По двум проекциям 3 и 3² определяют фронтальную проекцию 3¢. Полученные точки соединяют плавной кривой с помощью лекала.
Построение изометрической проекции (рис. 4в) пересекающихся цилиндров выполняется в следующей последовательности:
строят изометрическую проекцию вертикального цилиндра;
проводят ось горизонтального цилиндра через точку О1 параллельно оси х (положение точки О1 определяется ее координатой z, равной отрезку h);
находят центр основания горизонтального цилиндра (точка О2), откладывая от точки О на оси цилиндра отрезок l, равный координате х точки О2;
строят основание горизонтального цилиндра – овал, параллельный профильной плоскости проекций;
строят точки, принадлежащие линии пересечения при, помощи координат и соединяют их, используя лекало;
проводят очерковые образующие горизонтального цилиндра.
Пресечение поверхностей цилиндра и конуса
Построение линии пересечения поверхностей прямого кругового усеченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, показано на рис. 5. Оси цилиндров и конуса пересекаются в точке О1 и лежат в одной плоскости.
Как и в предыдущих примерах, сначала определяют проекции очевидных (1, 7) и характерных (4, 10) точек линии пересечения.
Для определения промежуточных точек проводят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Р1… Р5 (рис. 5б). Они будут рассекать конус по окружности, цилиндр – по образующим. Искомые точки линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса находятся на пересечении образующих с окружностями.
Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра О1 (рис. 5а) проводят горизонтальные проекции дуг окружностей, по которым вспомогательные плоскости Р1… Р5 пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг взяты с профильной проекции. 
Рис. 5.
Так как профильные проекции точек 1²… 12″ известны, то проводя ломаные линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят горизонтальные проекции точек 1…12. Применяя линии связи по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальной, находят фронтальные проекции точек 1¢… 12′.
Полученные на горизонтальной и фронтальной проекциях точки соединяют по лекалу.
На горизонтальной проекции часть линии пересечения будет видимой, а часть – невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют при помощи плоскости Р3, проведенной через ось цилиндра. Точки, расположенные над плоскостью Р3, будут на горизонтальной плоскости видимы, а точки расположенные под плоскостью Р3 – невидимы.
Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и конуса вычерчивают в такой же последовательности, что и изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндров (рис. 5в).
5. СОДЕРЖАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Выполнить ортогональный чертеж пересекающихся тел в трех проекциях.
Показать все вспомогательные построения тонкими линиями.
Обозначить все точки линии пересечения.
Показать и обозначить вспомогательные секущие плоскости.
Выполнить аксонометрическую (диметрическую или изометрическую) проекцию пересекающихся тел с нанесением точек линии пересечения.
ОФОРМЛЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Работу выполнить на формате А3 (297 × 420) с соблюдением праивил оформления чертежей согласно ГОСТов ЕСКД.
Масштаб 1:1.
Все вспомогательные построения выполнять в карандаше тонкими линиями с помощью чертежных инструментов, аккуратно и четко.
Размеры выполнять номером шрифта 3,5.
Все точки линии пересечения, а также вспомогательные плоскости обозначать буквами латинского алфавита.
Пример выполнения и оформления: 
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ
Распланировать изображения чертежа по габаритным размерам, оставляя место для выполнения изометрической проекции.
ВАРИАНТЫЗАДАНИЙ 
Построить линии пересечения цилиндров и аксонометрическую проекцию.
