ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерная школа природных ресурсов

Специальность 21.05.02 Прикладная геология

Отделение геологии

 

Индивидуальное домашнее задание

 

по дисциплине:Механика 1.3

 

Выполнил: студент гр. З-215ВБацаев И.Ю.

_{(Номер группы) (Ф.И.О)}

 

 

Проверил: Кандидат физико-математических наук,

доцент Коноваленко И.С.

(Ф.И.О)

 

 

Томск – 2020

 

 

Задача 1

Определить реакции связей, наложенных на раму.

G = 7 Н P₁ = 5 Н P₂ = 3 Н P₃ = 6 Н

q = 2 Н/м M = 4 Н*м

a = 2 м α₁ = 30⁰ α₂ = 60⁰

 

Система находится в равновесии.

 

 

Решение

Заменяем равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q

сосредоточенной силой Q

Q = q∙2∙a = 2∙ 2∙2 = 8 Н

 

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения равновесия

ΣM_А = P₃∙sin60∙2∙a- P₃∙cos60∙4∙a + G∙cos30∙4∙a – G∙sin30∙a – Q∙3∙a- P₂∙2∙a + M - M_A - P₁∙sin30∙4∙a - P₁∙cos30∙a = 0 (1)

ΣY = Y_A - Q - P₂ + G∙cos30- P₃∙cos60- P₁∙sin30 = 0 (2)

ΣX = -X_A + G∙sin30 + P₃∙sin60 - P₁∙cos30= 0 (3)

Из уравнения 2 находим Y_A

Y_A = -(-Q - P₂ + G∙cos30 - P₃∙ cos60 - P₁∙sin30) = -(-8 - 3 + 7∙0.866 – 6∙ 0.5 – 5∙ 0.5) = 10.438 Н

Из уравнения 3 находим Х_A

X_A = G∙sin30 + P₃∙ sin60 - P₁∙cos30 = 7∙0.5 + 6∙0.866 – 5∙0.866 = 4.366 Н

Из уравнения 1 находим Х_A

 

M_A = P₃∙sin60∙2∙a - P₃∙cos60∙4∙a + G∙cos30∙4∙a – G∙sin30∙a – Q∙3∙a - P₂∙ 2∙a + M -

- P₁∙sin30∙ 4∙a - P₁∙cos30∙a = 6∙0.866∙2∙ 2 – 6∙ 0.5∙4∙2 + 7. 0.866∙4∙2 – 7. 0.5∙2 – 8∙3∙2 – 3∙2∙2 + 4 – 5∙0.5∙4∙ 2 – 5∙0.866∙2 = -46.38 Н м

Проверка:

ΣM_B = Y_A∙4∙a - X_A∙2∙a+ M_A - M+ G∙sin30∙3∙a – Q∙a- P₂∙2∙a- P₁∙cos30∙a =

= 10.438∙ 4∙2 - 4.366∙2∙ 2 + -46.38 - 4 + 7∙ 0.5∙ 3∙2 – 8∙2 – 3∙ 2∙ 2 – 5∙0.866∙2 = 0

ΣMB = 0

Реакции опор определены верно.

 

 

Задача 2

Требуется определить:

1) скорость всех точек механизма и угловые скорости всех его звеньев;

2) ускорение всех точек механизма и угловые ускорения его звеньев.

ω₁ = 3 рад/c Длины звеньев выбрать самостоятельно, пропорционально длинам звеньев на схеме механизма

Длины звеньев выбрать самостоятельно, пропорционально длинам звеньев на схеме механизма

Определение скоростей точек механизма

Строим положение механизма в соответствии с заданными размерами. Схема механизма на рисунке

 

 

Рисунок Схема механизма

1) скорости точек А, В, С,... механизма и угловые скорости всех его звеньев;

Скорость т.А V_A=w₁∙O₁A=3∙20=60 см/с

Откладываем Va ^O₁A в сторону поворота w₁

Строим мгновенные центры скоростей (MЦC) звеньев, совершающих плоскопараллельное движение: Звено AB. Звено DC. Звено EF.

Покажем вектора скоростей V_А, V_B

Проводим к этим векторам перпендикуляры они не пересекаются значит, звено АВ движется поступательно

V_А, =V_B= V_С=60 см/с

Аналогично строим МЦС остальных звеньев М_EF. К_CD.

КD^ V_D КC^ V_C ME ^ V_E MF^ V_F

Угловые скорости звеньев

 

 

2) Ускорения точек

Ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ;

Кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью. Полное ускорение т.А равно нормальному ускорению тА.

Нормальное ускорение точки А

Относительное нормальное ускорение

шатун АВ движется поступательно

Проводим оси координат хВу и проектируем векторное равенство на эти оси

проекция на ось ВХ

=

= см/с²

проекция на ось ВУ

=

= =

Угловое ускорение АВ

Относительное нормальное ускорение

Относительное касательное ускорение

проекция на ось ВХ

проекция на ось ВУ

Относительное нормальное ускорение

Относительное нормальное ускорение

Относительное нормальное ускорение

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение

 

 

Задача 3

Требуется построить эпюры N, σ и λ.

F₁ = 20 кН A₁ = 100 мм²

F₂ = 25 кН A₂ = 200 мм²

F₃ = 40 кН A₃ = 300 мм²

L = 1.0 м E = 2∙10⁵ МПа

 

 

Пост роение эпюры продольных усилий Nx

Разобъем брус на 6 силовых участка:

Участок 1

ΣN = 0 N_х1 = 0 кН

Участок 2

ΣN = N_х2 - F1 = 0

N_х2 = F₁ = 20 кН

Участок 3

ΣN = N_х3 - F₁ = 0

N_х3 = F₁ = 20 кН

Участок 4

ΣN = N_х4 - F₁ - F₂ = 0

Nх4 = F₁ + F₂ = 20 + 25 = 45 кН

Участок 5

ΣN = N_х5 - F₁ - F2 = 0

N_х5 = F₁ + F₂ = 20 + 25 = 45 кН

Участок 6

ΣN = N_х6 - F₁ - F₂ + F₃ = 0

Nх6 = F₁ + F₂ - F₃ = 20 + 25 - 40 = 5 кН

Пост роение эпюры нормальных напряжений

 

Определение удлинения (укорочения) стержня.

λ_A = 0

 

 

 

Задача 4

Требует ся определить величин у и направление момен та m2. Построить эпюры

М_х и τ.

m₁ = 100 Н м m₃ = 280 Н м m₄ = 60 Н м

d₁ = 30 мм d₂ = 25 мм d₃ = 40 мм

Решение.

1. Определение момент а m₂ из условия равномерного вращения вала

ΣMi = m₁ + m₄ - m₃ + m₂ = 0

m₂ = -(m₁ + m₄ - m₃) = -(100 + 60 - 280) = 120 Н*м

2. Построение эпюры крутящих моментов Мx

Мx₁ = 0 Н*м

Мx₂ = m₁ = 100 Н*м

Мx₃ = m₁ = 100 Н*м

Mx₄ = m₁ + m₂ = 100 + 120 = 220 Н*м

Mx₅ = m₁ + m₂ - m₃ = 100 + 120 - 280 = -60 Н*м

Mx₆ = m₁ + m₂ - m₃ = 100 + 120 - 280 = -60 Н*м

Mx₇ = m₁ + m₂ - m₃ + m₄ = 100 + 120 - 280 + 60 = 0 Н*м

3. Построение эпюры касательных напряжений τ

где τ_i - касательное напряжение для стального вала

Mx_i - крутящий момент

Wρ - полярный момент сопротивления круга

 

 

 

Задача 5

Требуется построить эпюры Q и M и определить наименьший диаметр

стальной балки при [σ]_доп=160 МПа.

q = 20 кН/м F₁ = 12 кН M = 10 кН*м

a = 3 м b = 2 м [σ]_доп = 160 МПа

 

Решение

Определение опорных реакций

Проверка:

ΣY = Y_B + Y_A - F₁- q∙a = 58 + 14 - 12- 20∙3 = 0 кН

Реакции опор определены верно.

Пост роение эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qх.

0 <x₁ < b = 2 м

Qx₁ = Y_A = 14 кН

x₁ = 0 м

Mx₁ = Y_A∙ x₁ = 0 кН м

x₁= b = 2 м

Mx₁. = Y_Ax₁. = 142 = 28 кН м

0 <x₂ < b + a = 2 + 3 = 5 м

Qx₂ = Y_A = 14 кН

x₂ = b = 2 м

Mx₂ = Y_A∙ x₂ + M = 14∙2 + 10 = 38 кН м

x₂ = b + a = 2 + 3 = 5 м

Mx₂ = Y_A∙x₂ + M = 14∙5 + 10 = 80 кН м

0 <x₃ < b + a + b = 2 + 3 + 2 = 7 м

Qx₃ = Y_A - F₁ = 14 - 12 = 2 кН

x₃ = b + a = 2 + 3 = 5 м

Mx₃ = Y_A∙ x₃ + M - F₁∙ (x₃ - a - b) = 14∙ 5 + 10 – 12∙ (5 - 3 - 2) = 80 кН м

x₃ = b∙ 2 + a = 2∙2 + 3 = 7 м

Mx₃ = Y_A∙x₃ + M - F₁∙ (x₃ - a - b) = 14∙7 + 10 – 12∙7 - 3 - 2) = 84 кН м

0 <x₄ < b∙ 2 + a/ 2 = 2∙2 + 3∙ 2 = 10 м

Qx₄ = Y_A - F₁ – q∙x₄ – 2∙(b - a)

x₄ = b∙ 2 + a = 2∙ 2 + 3 = 7 м

Qx₄ = Y_A - F₁ – q∙ (x₄ – 2∙b - a) = 14 - 12 – 20∙ (7 – 2∙ 2 - 3) = 2 кН

x₄ = b∙ 2 + a∙2 = 2∙2 + 3∙2 = 10 м

Qx₄ = Y_A - F₁ – q∙(x₄ – 2/b - a) = 14 - 12 – 20∙ (10 – 2/2 - 3) = -58 кН

M x₄= Y_A∙x₄ + M - F₁∙ (x₄ - a - b)- 0.5* q*(x₄ – 2∙b- a)=

= 14∙10 + 10 – 12∙(10 - 3 - 2) - 0.5* 20*(10 – 2*2 - 3)= 0

Qx₄ = Y_A - F₁ – q∙(x_4m – 2∙b - a) = 0

2) Подобрать диаметр поперечного сечения. Из условия прочности по нормальным напряжениям имеем:

Mmax = Mx_4m = 84.1 кН*м

Wy - осевой момент сопротивления сечения

Принимаем D = 18 см

 

Задача 6

Определить скорость, а так же касательное, нормальное и полное ускорение

точки М.

Уравнение движения груза имеет вид

x = 2 + 100∙t²

t = 2 c

r₂ = 20 см

r₃ = 50 см

R₃ = 60 см

 

 

Решение: Покажем на звеньях линейные скорости и ускорения; дуговыми стрелками обозначим угловые скорости и ускорения.

Уравнение движения груза имеет вид

x = 2 + 100∙t²

Скорость груза 1

V₁= X_I^I = 200∙t см/с V₁ = 200∙t = 200∙2 = 400 см/с

Ускорение груза 1

a₁ = V₁^I = 200 см/c²

Угловое ускорение колеса 2

ε₂= a₁/r₂ =200/15 = 13.333 радиан/c

Угловая скорость колеса 2

Линейная скорость точки К

V_K = ω₂∙ r₂ = ω₃∙ r₃

Определяем угловую скорость колеса 3

Линейное ускорение точки К

a_K = ε₂∙ r₂ = ε₃∙ r₃

Определяем угловое ускорение колеса 3

Линейная скорость точки М

V_M = ω₃∙ R₃ = 8∙ 60 = 480 см/с

Тангенсальное ускорение точки М

a_τ = ε₃∙ R₃ = 4∙ 60 = 240 см/с

Нормальное ускорение точки М

a_n = (ω₃)²∙R₃ = 82∙60 = 3.84 ∙10³ см/с

Полное ускорение точки М

см/с²