Модели временных рядов.
Модели, которые построенны по данным, характеризующим один объект за ряд определенных последовательных периодов, называется моделями временных рядов.
Временной ряд – это совокупность значений определенного показателя за несколько последовательных периодов времени.
Каждый уровень временного ряда может формироваться из трендовой (Т), циклической или сезонной компоненты (S), а также случайной (E) компоненты.
Модели, где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными, если в виде произведения – мультипликативными моделями.
Аддитивная модель имеет вид: Y = T + S + E
Мультипликативная модель имеет вид: Y = T * S * E
Построение модели временного ряда.
1. производят выравнивание временного ряда (например методом скользящей средней);
2. расчитывают значения сезонной компоненты;
3. устраненяют сезонную компоненту и получают выровненный ряд;
4. проводят аналитическое выравнивание уровней (T и Е) и расчет значений Е с использованием полученного уравнения тренда;
5. расчитывают значения T и Е;
6. расчитывают абсолютных и относительные ошибки;
Аналитическое выравнивание временного ряда.
Построение аналитической функции при моделировании тренда, в любой задаче по эконометрике на временные ряды, называют аналитическим выравниванием временного ряда и в основном применяются функции: линейную, степенную, гиперболичческую, параболическую и т.д.
Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом МНК, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии фишера и Стьюдента.
Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используется критерий Дарбина – Уотсона:
Модели авторегрессии 
, скользящего среднего 
, модели 
.
Модель авторегрессии — скользящего среднего (англ. autoregressive moving-average model, ARMA) — одна из математических моделей, использующихся для анализа и прогнозирования стационарных временных рядов в статистике. Модель ARMA обобщает две более простые модели временных рядов — модель авторегрессии (AR) и модель скользящего среднего (MA).
Моделью ARMA(p, q), где p и q — целые числа, задающие порядок модели, называется следующий процесс генерации временного ряда 
:
где 
— константа, 
— белый шум, то есть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин (как правило, нормальных), с нулевым средним, а 
и 
— действительные числа, авторегрессионные коэффициенты и коэффициенты скользящего среднего, соответственно.
Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка — скользящие средние из элементов белого шума. ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ.
Если ввести в рассмотрение лаговый оператор 
, тогда ARMA-модель можно записать следующим образом
или перенеся авторегрессионную часть в левую часть равенства
Введя сокращенные обозначения для полиномов левой и правой частей окончательно можно записать
Для того, чтобы процесс был стационарным, необходимо, чтобы корни характеристического многочлена авторегрессионной части 
лежали вне единичного круга в комплексной плоскости (были по модулю строго больше единицы). Стационарный ARMA-процесс можно представить как бесконечный MA-процесс
Например, процесс ARMA(1,0)=AR(1) можно представить как MA-процесс бесконечного порядка с коэффициентами убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, ARMA-процессы можно считать MA-процессами бесконечного порядка с определенными ограничениями на структуру коэффициентов. Малым количеством параметров они позволяют описать процессы достаточно сложной структуры. Все стационарные процессы можно сколь угодно приблизить ARMA-моделью некоторого порядка с помощью существенно меньшего числа параметров, нежели только при использовании MA-моделей.
При наличии единичных корней авторегрессионного полинома процесс является нестационарным. Корни меньше единицы на практике не рассматриваются, поскольку это процессы взрывного характера. Соответственно, для проверки стационарности временных рядов один из базовых тестов — тесты на единичные корни. Если тесты подтверждают наличие единичного корня, то анализируются разности исходного временного ряда и для стационарного процесса разностей некоторого порядка (обычно достаточно первого порядка, иногда второго) строится ARMA-модель. Такие модели называются ARIMA-моделями (интегрированный ARMA) или моделями Бокса-Дженкинса. Модель ARIMA(p, d,q), где d-порядок интегрирования (порядок разностей исходного временного ряда), p и q — порядок AR и MA — частей ARMA-процесса разностей d-го порядка, можно записать в следующей операторной форме
Процесс ARIMA(p, d,q) эквивалентен процессу ARMA(p+d, q) с d единичными корнями.
Для построения модели ARMA по серии наблюдений необходимо определить порядок модели (числа p и q), а затем и сами коэффициенты. Для определения порядка модели может применяться исследование таких характеристик временного ряда, как его автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция. Для определения коэффициентов применяются такие методы, как метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия.