моделирующей системы Mathcad

В настоящее время для научно-технических расчетов на компьютерах все чаще и чаще используются не традицион­ные языки программирования и не электронные таблицы, а специальные математические программы типа Mathematica, MatLab, Maple, MathCAD, Gauss, Reduce, Eureka и др.

Математические пакеты, в особенности MathCAD, позволяют специалистам в конкретной научно-технической области очень быстро освоить работу на компьютере и реализовать на них математические модели, не вдаваясь в тонкости программирования на традиционных языках (fortran, С, Pascal, BASIC и др.).

Без преувеличения можно сказать, что одной из наиболее популярных моделирующих систем является интегрированная моделирующая система MathCAD. Программа MathCAD сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов.

Рассмотрим основные возможности ИМС MathCAD.

Научно-технические документы обычно содержат формулы, результаты расчетов в виде таблиц данных или графиков, текстовые комментарии или описания, другие иллюстрации. В программе MathCAD им соответствуют два вида объектов: формулы и текстовые блоки. Формулы вычисляются с использованием числовых констант, переменных, функций (стандартных и определенных пользователем), а также общепринятых обозначений математических операций. Введенные в документ MathCAD формулы автоматически приводятся к стандартной научно-технической форме записи. Графики, которые автоматически строятся на основе результатов расчетов, также рассматриваются как формулы. Комментарии, описания и иллюстрации раз­мещаются в текстовых блоках, которые игнорируются при проведении расчетов.

Чтобы буквенные обозначения можно было использовать при расчетах по формулам, этим обозначениям должны быть сопоставлены числовые значения. В программе MathCAD буквенные обозначения рассматриваются как переменные, и их значения задаются при помощи оператора присваивания (вводится символом «: »). Таким же образом можно задать числовые последовательности, аналитически определенные функции, матрицы и векторы.

Если все значения переменных известны, то для вычисления числового значения выражения (скалярного, векторного или матричного) надо подставить все число­вые значения и произвести все заданные действия. В программе MathCAD для этого применяют оператор вычисления (вводится символом «= »). В ходе вычисления автоматически используются значения переменных и определения функций, задан­ные в документе ранее. Удобно задать значения известных параметров, провести вычисления с использованием аналитических формул, результат присвоить некоторой переменной, а затем использовать оператор вычисления для вывода значения этой переменной.

Изменение значения любой переменной, коррекция любой формулы, означает, что все расчеты, зависящие от этой величины, необходимо проделать заново. Такая необходимость возникает при выборе подходящих значений параметров или усло­вий, поиске оптимального варианта, исследовании зависимости результата от началь­ных условий. Электронный документ, подготовленный в программе MathCAD, готов к подобной ситуации. При изменении какой-либо формулы программа автомати­чески производит необходимые вычисления, обновляя изменившиеся значения и графики.

При проведении расчетов с использованием реальных физических величин учитывают их размерность. Чтобы расчет был корректен, все данные должны быть приведены в одну систему единиц — в этом случае результат расчетов получится в этой же системе. Здесь скрывается характерный источник ошибок при расчетах вручную. В программе MathCAD единицы измерения (в любой системе) присоединяют к значению величины с помощью знака умножения. Данные автоматически преобразуются в одну и ту же систему единиц (по умолчанию СИ) и обрабатыва­ются в этом виде. Размерный результат выдается вместе с полученной единицей измерения. Например:

v:= 100*kph t:= 0.5*yr (kph — километры в час, yr — годы),

s:= v*t s = 4.383*10 ⁸ m (результат получен в метрах).

При работе с матрицами приходится применять такие операции, как сложение матриц, умножение, транспонирование. Часто возникает необходимость в обращении матриц и в декомпозиции (разложении в произведение матриц специального вида). Для квадратных матриц представляет интерес поиск собственных значений и собственных векторов. Программа MathCAD позволяет выполнить все эти операции с помощью стандартных обозначений математических операторов (сложение, умножение) или встроенных функций.

Уравнения и системы уравнений, возникающие в практических задачах, обычно можно решить только численно. Методы численного решения реализованы и в программе MathCAD. Блок уравнений и неравенств, требующих решения, записывается после ключевого слова given (дано). При записи уравнений используется знак логического равенства (комбинация клавиш < CTRL > + < = >). Значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений и неравенств, находятся с помощью стан­дартной функции find.

При обработке результатов экспериментов часто встречаются задачи статистического анализа серий данных. Для такого рода задач программа MathCAD предоставляет средства интерполяции данных, предсказания дальнейшего поведения функции, а также построения функций заданного вида, наилучшим образом соответствующих имеющемуся набору данных. При статистическом анализе можно также использовать стандартные функции распределения вероятности и генераторы случайных величин с заданным распределением.

При аналитических вычислениях результат получают в нечисловой форме в результате тождественных преобразований выражений. Простейшие преобразования — это раскрытие скобок, приведение подобных членов, применение тригонометрических тождеств.

Более сложные преобразования позволяют находить аналитические решения некото­рых уравнений и систем. Для такого рода вычислений в программе MathCAD исполь­зуют оператор аналитического вычисления (клавиатурная комбинация < CTRL > + <. >), а также команды меню Symbolics (Аналитические вычисления). Переменные при анали­тических вычислениях рассматриваются как неопределенные параметры. Результат можно использовать для анализа решения при различных значениях этих пере­менных. При аналитическом решении уравнений и систем за одну операцию можно найти все существующие решения.

Дифференцирование и интегрирование заданных функций вручную — обычно несложная, но трудоемкая операция. В программе MathCAD для вычисления производной, а также неопределенных и определенных интегралов могут использоваться символические вычисления с помощью меню Symbolics ® Variable (Аналитические вычисления > Переменная). Если функция не задана аналитически или непозволяет получить первообразную в виде формулы, имеется возможность численного дифференцирования и численного расчета определенных интегралов.

Численные методы используют и для решения дифференциальных уравнений. С помощью программы MathCAD можно решить уравнения и системы уравнений первого порядка с заданными начальными условиями. Уравнение более высокого порядка надо сначала преобразовать в систему уравнений первого порядка.

В заключение еще раз отметим особенности ИМС MathCAD и конкретные преимущества работы в среде этой математической программы:

математические выражения в среде MathCAD записываются в их общепринятой нотации: числитель находится ввер­ху, а знаменатель — внизу; в интеграле пределы интегрирования также расположены на своих привычных местах. Казалось бы, что это все мелочи, никак не влияющие на вычислительный процесс. Но... Программа должна быть понятной не только для компьютера, но и для человека. Пользователь, читая распечатку принтера или глядя на дисплей, видит, что данная величина записана в числителе и ее рост приводит к возрастанию всего выражения. А это очень важно при анализе математических моделей, форма и содержание которых едины;

в среде MathCAD процесс создания «программы» идет па­раллельно с ее отладкой. Пользователь, введя в MathCAD-документ новое выражение, может не только сразу подсчитать, чему оно равно при определенных значениях переменных, но и построить график или поверхность, беглый взгляд на которые может безошибочно показать, где кроется ошибка, если она была допущена при вводе формул или при создании самой математической модели. «Отладочные» фрагменты можно оставить в готовом документе для того, чтобы, например, еще раз убедить воображаемого или реального оппонента в правильности модели;

в пакет MathCAD интегрирован довольно мощный математический аппарат, позволяющий решать возникающие проблемы без вызова внешних процедур. Вот неполный перечень вычислительных инструментов, доступных в среде MathCAD:

- решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных);

- решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и краевая задача);

- решение дифференциальных уравнений в частных производных;

- статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое);

- работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);

- поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей;

пакет MathCAD дополнен справочником по основным мате­матическим и физико-химическим формулам и констан­там, которые можно автоматически переносить в документ без опасения внести в них искажения, увы, нередкие при ручной работе;

решая поставленную задачу, пользователь может вводить не только числовые значения переменных, но и дополнять их размерностями. При этом пользователь вправе выбирать и систему единиц (СИ, кг-м-с, г-см-с, британская), и конкретные размерности (мм, дюймы, футы и т.д.): система MathCAD в них сама разберется и выдаст ответ с заданной пользователем размерностью;

система MathCAD оборудована средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы);

в систему MathCAD интегрированы средства символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи (этап задачи) не только численно, но и аналитически;

не выходя из среды MathCAD, возможно открывать новые документы на других серверах и пользоваться теми пре­имуществами информационных технологий, какие предоставляет Internet.

Кроме того, не следует забывать, что пакет MathCAD — это полноценное Windows-приложение. Решая поставленную задачу, можно в статике (через буфер обмена Windows) или в динамике (OLE-технологии) передать данные в среду другой программы и там решить часть задачи.

Кратко подведем итог по второму учебному вопросу:

1. Интегрированная моделирующая система MathCAD предназначена для проведения математических расчетов (математического моделирования) и подготовки форматированных научных и технических документов.

2. Использование пакета MathCAD позволяет существенно упростить решение сложных задач, таких как, например, задачи оптимизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе лекции приведена общая характеристика интегрированных моделирующих систем, относящихся к классу пакетов прикладных программ, а также изложены особенности и основные возможности ИМС MathCAD.

На последующих занятиях будут более подробно изложены правила работы в среде MathCAD, а также получены практические навыки работы с использованием средств данной ИМС.