Методы максимального правдоподобия.

Метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) — метод, использующий всю информацию об ограничениях на приведённую форму модели.

Метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML, метод наименьшего дисперсионного отношения) предназначен для оценки одного уравнения системы. Остальные уравнения оцениваются лишь в той мере, в какой это необходимо для оценки данного уравнения. Первое оценивается в структурной форме, остальные в неограниченной приведённой, то есть используется не вся доступная информация при оценке. Данный метод сводится к нахождению минимального собственного числа определенной симметрической матрицы.

 

 

2 Задача

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) y от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) x₁ и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) х₂.

Необходимо:

1. Рассчитать параметры линейной многофакторной модели. Пояснить экономический смысл полученных коэффициентов.

2. Оценить качество модели в целом. Сделать соответствующие выводы.

3. Оценить целесообразность включения в модель фактора x₁ после х₂ и х₂ после х₁.

4. Дать сравнительную характеристику влияния факторов на результат.

5. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6. Предполагая прогнозные значения переменных равными х₁ =7 и х₂ =26, найти с вероятностью 0,95 дать интервальную оценку индивидуального прогнозного значения выработки продукции на одного работника.

Решение:

1. Расчет параметров линейной многофакторной модели. Для расчета параметров используем метод наименьших квадратов. Суть данного метода состоит в построении и решении системы нормальных уравнений.

Данная система имеет вид:

∑ y = na +b₁∑x₁ +b₂∑x₂

∑ yx₁ = a∑x₁ +b₁∑ + b₂∑x₁x₂

∑yx₂ = a∑x₂ +b₁∑x₁x₂ +b₂∑

n =20 – количество наблюдений

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу 1.

Таблица 1

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2			y2
	7,0	3,9	10,0	27,3	70,0	39,0	15,21	100,0	49,0
	7,0	3,9	14,0	27,3	98,0	54,6	15,21	196,0	49,0
	7,0	3,7	15,0	25,9	105,0	55,5	13,69	225,0	49,0
	7,0	4,0	16,0	28,0	112,0	64,0	16,0	256,0	49,0
	7,0	3,8	17,0	26,6	119,0	64,6	14,44	289,0	49,0
	7,0	4,8	19,0	33,6	133,0	91,2	23,04	361,0	49,0
	8,0	5,4	19,0	43,2	152,0	102,6	29,16	361,0	64,0
	8,0	4,4	20,0	35,2	160,0	88,0	19,36	400,0	64,0
	8,0	5,3	20,0	42,4	160,0	106,0	28,09	400,0	64,0
	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	136,0	46,24	400,0	100,0
	9,0	6,0	21,0	54,0	189,0	126,0	36,0	441,0	81,0
	11,0	6,4	22,0	70,4	242,0	140,8	40,96	484,0	121,0
	9,0	6,8	22,0	61,2	198,0	149,6	46,24	484,0	81,0
	11,0	7,2	25,0	79,2	275,0	180,0	51,84	625,0	121,0
	12,0	8,0	28,0	96,0	336,0	224,0	64,0	784,0	144,0
	12,0	8,2	29,0	98,4	348,0	237,8	67,24	841,0	144,0
	12,0	8,1	30,0	97,2	360,0	243,0	65,61	900,0	144,0
	12,0	8,5	31,0	102,0	372,0	263,5	72,25	961,0	144,0
	14,0	9,6	32,0	134,4	448,0	307,2	92,16	1024,0	196,0
	14,0	9,0	36,0	126,0	504,0	324,0	81,0	1296,0	196,0
∑		123,8		1276,3		2997,4	837,74	10828,0	1958,0
Ср. знач.	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	41,887	541,4	97,9

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

= a + b₁x₁ + b₂x₂

Необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a,b₁,b₂.

∆ = =

∆ = 20∙(837,4∙10828 – 2997,4∙2997,4) – 123,8∙(123,8∙10828 – 2997,4∙446) + 446∙(123,8∙2997,4 – 837,74∙446) = 139940

∆ a = =

∆a = 192∙(837,74∙10828 – 2997,4∙2997,4) – 1276,3∙(123,8∙10828 – 2997,4∙446) + 4581∙(123,8∙2997,4 – 837,74∙446) = 256833

∆ b₁ = =

∆b₁ = 20∙(1276,3∙10828 - 4581∙2997,4) – 123,8∙(192∙10828 - 4581∙446) + 446∙(192∙2997,4 – 1276,3∙446) = 132376

∆b₂ = =

∆b₂ = 20∙(837,74∙4581 – 2997,4∙1276,3) – 123,8∙(123,8∙4581 – 2997,4∙192) +446∙(123,8∙1276,3 – 837,74∙192) = 11981,36

a = = 1,835; b₁ = = 0,946; b₂ = = 0,0856.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Вывод: Уравнение регрессии показывает, что с увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1% (у) выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,946 тыс. руб. при фиксированном значении фактора х₂. С увеличением х₂ удельного веса работников высокой квалификации на 1% (у) выработка продукции возрастет на 0,0856 тыс. руб. при фиксированном значении х₁.

2) Оценка качества модели в целом. Для оценки состоятельности сегодня используют критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

F = ∙ ,

где R² – коэффициент детерминации; n – количество наблюдений; m – количество зависимых переменных.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицы парных коэффициентов корреляции:

где

∆ r =

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

∆ r₁₁ =

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Находим:

∆ r = = 1+0,8607+0,8067-0,8855-0,8892-0,9409 = 0,0058

∆ r = = 1- 0,8892 = 0,1108.

Коэффициент множественной корреляции:

= = 0,973

Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

Коэффициентом множественной детерминации R² называется квадрат множественного коэффициента корреляции.

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации = 0,947.

В нашем случае фактическое значение критерия Фишера:

F_факт = = 151,88.

Табличное значение данного критерия при уровне значимости α = 0,05 (α = 1 – р = 1 – 0,95) и в степенях свободы k₁ = m=2 (количество факторов) и k₂ = n – m – 1 = 20 – 2 – 1= 17составляет 3,59.

Вывод: Поскольку полученное расчетное значение F_факт = 151,88 превышает табличное, то модель считается состоятельной и пригодной для составления прогноза.

3) При оценке целесообразности включения в модель фактора х₁ после х₂ и фактора х₂ после х₁ используем частный критерий Фишера:

= ∙ ; = ∙ .

Найдем и :

= = 0,970² = 0,941;

= = 0,941² = 0,885.

Имеем:

= ∙ = 19,89;

= ∙ = 1,924.

Табличное значение данного критерия при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы к₁ = 1 и к₂ = 17 составит 4,45.

Вывод: F_x1>4.45, следовательно, фактор х₁ целесообразно включать в модель после введения фактора х₂. F_x2<4.45, следовательно, фактор х₂ не целесообразно включать в модель после введения фактора х₁.

4) Сравнительная характеристика влияния факторов на результат.

Для сравнительной характеристики воспользуемся средним коэффициентом эластичности:

= b₁ ∙ = 0,946 ∙ = 0,61;

= b₂ ∙ = 0,0856 ∙ = 0,2.

Вывод по фактору х₁: С увеличением фактора х₁ на 1% выработка продукции возрастет на 0,61%.

Вывод по фактору х₂: С увеличением фактора х₂ на 1% выработка продукции возрастет на 0,2%.

Общий вывод: Сравнивая коэффициенты эластичности можно сделать вывод, что фактор х₁ оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную (у), поскольку > .

5) Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии. С этой целью используем критерий Стьюдента.

= = 4,45;

= = 1,39.

Табличное значение данного критерия при уровне значимости α=0,05 и степени свободы k=n-m- 1 = 17 составит 2,11.

Вывод: Анализируя полученные расчетные значения с табличным, можно сделать вывод, что признается статистическая надежность параметра b₁, т.к. > t_табл, статистическая значимость параметра b₂ не подтверждается, т.к. < t_табл.

6) Расчет прогнозных уровней.

Точечный прогноз получают путем подстановки прогнозных уровней в уравнение регрессии. При х₁ =7 и х₂ =26 рассчитываем уравнение.

= 1,835 + 0,946 ∙ 7 + 0,0856 ∙ 26 = 10,6826 тыс.руб.

Интервальный прогноз:

= S∙ , где

– ошибка прогнозного значения;

S – стандартная ошибка.

S = = = 0,15

- (1 7 26)

X₀ -

(X^’ ∙ X)^-1 = ∙ ,

где – присоединенная матрица

X^’X =

∆ = 139940,08

=

(X^’X)^-1 =

(X^’∙ X)^-1X₀ = = 0,0697

= 0,15 = 0,1551

, где

t_T - табличное значение критерия Стьюдента (2,11).

=

Вывод: Прогнозное значение выработки продукции при условии, что значение переменных достигнут уровней x_1p = 7, x_2p = 26, составит 10,6826 тыс.руб. и будет варьировать в интервале .

 

Список использованной литературы

 

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - 3-е изд., перераб. и доп. -М.: Юнити-Дана, 2010. — 328 с.

2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с.

3. Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с.