Распределение Т-Стьюдента
P= 
| |||||||||||||
| V | 0,55 | 0,6 | 0,65 | 0,7 | 0,75 | 0,8 | 0,85 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | ||
| 0,158 | 0,325 | 0,510 | 0,727 | 1,000 | 1,376 | 1,963 | 3,078 | 6,314 | 12,706 | 31,821 | 63,657 | 636,619 | |
| 0,142 | 0,289 | 0,445 | 0,617 | 0,816 | 1,061 | 1,386 | 1,886 | 2,920 | 4,303 | 6,965 | 9,925 | 31,598 | |
| 0,137 | 0,277 | 0,424 | 0,584 | 0,765 | 0,978 | 1,250 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 12,941 | |
| 0,134 | 0,271 | 0,414 | 0,569 | 0,741 | 0,941 | 1,190 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,757 | 4,604 | 8,610 | |
| 0,132 | 0,267 | 0,408 | 0,559 | 0,727 | 0,920 | 1,156 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 | 6,859 | |
| 0,131 | 0,265 | 0,404 | 0,553 | 0,718 | 0,906 | 1,134 | 1,440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5,959 | |
| 0,130 | 0,263 | 0,402 | 0,549 | 0,711 | 0,896 | 1,119 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 5,405 | |
| 0,130 | 0,262 | 0,399 | 0,546 | 0,706 | 0,889 | 1,108 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 5,041 | |
| 0,129 | 0,261 | 0,398 | 0,543 | 0,703 | 0,883 | 1,100 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,781 | |
| 0,129 | 0,260 | 0,397 | 0,542 | 0,700 | 0,879 | 1,093 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 | 4,758 | |
| 0,129 | 0,260 | 0,396 | 0,540 | 0,697 | 0,876 | 1,088 | 1,363 | 1,796 | 2,201 | 2,718 | 3,106 | 4,437 | |
| 0,128 | 0,259 | 0,395 | 0,539 | 0,695 | 0,873 | 1,083 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 4,318 | |
| 0,128 | 0,259 | 0,394 | 0,538 | 0,694 | 0,870 | 1,079 | 1,350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3,012 | 4,221 | |
| 0,128 | 0,258 | 0,393 | 0,537 | 0,692 | 0,868 | 1,076 | 1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 4,140 | |
| 0,128 | 0,258 | 0,393 | 0,536 | 0,691 | 0,866 | 1,974 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 4,073 | |
| 0,128 | 0,258 | 0,392 | 0,535 | 0,690 | 0,865 | 1,071 | 1,337 | 1,746 | 2,120 | 2,583 | 2,291 | 4,015 | |
| 0,128 | 0,257 | 0,392 | 0,534 | 0,689 | 0,863 | 1,069 | 1,333 | 1,740 | 2,110 | 2,567 | 2,898 | 3,965 | |
| 0,127 | 0,257 | 0,392 | 0,534 | 0,688 | 0,862 | 1,067 | 1,330 | 1,734 | 2,101 | 2,552 | 2,878 | 3,922 | |
| 0,127 | 0,257 | 0,391 | 0,533 | 0,688 | 0,861 | 1,066 | 1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,883 | |
| 0,127 | 0,257 | 0,391 | 0,533 | 0,687 | 0,860 | 1,064 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,850 | |
| 0,127 | 0,257 | 0,391 | 0,532 | 0,686 | 0,859 | 1,063 | 1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,819 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,390 | 0,532 | 0,686 | 0,858 | 1,061 | 1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,792 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,390 | 0,532 | 0,685 | 0,858 | 1,060 | 1,319 | 1,714 | 2,069 | 2,500 | 2,807 | 3,767 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,390 | 0,531 | 0,685 | 0,857 | 1,059 | 1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,745 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,390 | 0,531 | 0,684 | 0,856 | 1,058 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3,725 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,390 | 0,531 | 0,684 | 0,856 | 1,058 | 1,315 | 1,706 | 2,058 | 2,479 | 2,779 | 3,707 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,389 | 0,531 | 0,684 | 0,855 | 1,057 | 1,314 | 1,703 | 2,052 | 2,473 | 2,771 | 3,690 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,389 | 0,530 | 0,683 | 0,855 | 1,056 | 1,313 | 1,701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,674 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,389 | 0,530 | 0,683 | 0,854 | 1,055 | 1,311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,659 | |
| 0,127 | 0,256 | 0,389 | 0,530 | 0,683 | 0,854 | 1,055 | 1,310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,646 | |
| 0,126 | 0,255 | 0,388 | 0,529 | 0,681 | 0,851 | 1,050 | 1,303 | 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 | 3,551 | |
| 0,126 | 0,254 | 0,387 | 0,527 | 0,679 | 0,848 | 1,046 | 1,329 | 1,671 | 2,000 | 2,390 | 2,660 | 3,460 | |
| 0,126 | 0,254 | 0,386 | 0,526 | 0,677 | 0,845 | 1,041 | 1,289 | 1,658 | 1,980 | 2,358 | 2,617 | 3,373 | |
| ∞ | 0,126 | 0,253 | 0,385 | 0,524 | 0,674 | 0,842 | 1,036 | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,291 |
Теоретическая часть
Экстраполяция трендов.
Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов сравнительно широко применяется в практике в силу ее простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, наконец, ясности принятых допущений. Отсутствие иной информации помимо отдельно рассматриваемого динамического ряда часто оказывается решающим при выборе этого метода прогнозирования. При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер признака, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени.
Экстраполяция базируется на следующих допущениях:
1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной (эволюторной) траекторией — трендом;
2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.
Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.
При определении прогностических значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет. по-видимому, не сама экстраполяция - это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.
В самом деле, экстраполяция дает возможность получить точное значение прогноза. Однако экономические переменные, как правило, являются непрерывными и, следовательно, указание их точных значений, строго говоря, лишено содержания, поскольку «попадание» в точку имеет нулевую вероятность. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде «вилки», интервала значений. Одним из путей получения такой «вилки» является определение доверительного интервала прогноза. Доверительные интервалы могут быть определены двояко: формально и неформально. Что касается последнего, то это дело экспертного суждения, которое выносится при качественном осмыслении результатов прогноза, сопоставление их с другими имеющимися у эксперта даннымии т. д. При этом, естественно, эксперт оолжен учитывать не только степень колеблемости фактических уровней вокруг тренда в прошлом, но и возможность дезинформации тренда в
будущем (соответственно могут быть получены различные варианты, прогноза).
Формальный доверительный интервал учитывает лишь ту неопределенность, которая связана с ограниченностью числа наблюдений и соответствующей неточностью найденных оценок параметров кривой. Основной вопрос - в какой мере в будущем сохранится найденная тенденция, -естественно, не может быть решен с помощью таких доверительных интервалов. Это дело содержательного экономического анализа и, вероятно экспертной оценки.
Экстраполяция тренда и доверительные интервалы прогноза.
При анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, о которых мы говорили выше, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд. Причем, если по каким либо соображениям при экстраполяции удобнее начало отчета времени установить на момент, отличающийся от начального момента, принятого при оценивании параметров уравнения, то для этого в соответствующем многочлене достаточно изменить постоянный член. Так в уравнении примой при сдвиге начала отчета времени на т лет вперед постоянный член будет равен а + bt, для параболы второй степени он составит величину а + bt + cw.
Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явление маловероятное.
Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается вопределении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определено положение
тренда, а в пространстве «уровень - время» и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно такой измеритель определяют в виде среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как
где y(f), - соответственно фактическое и расчетное значение члена ряда;
f - число степеней свободы;
f = п - т', где т' - число оцениваемых параметров;
п - число наблюдений.
Так, если выравнивание производится по прямой, то f=п-1, для параболы второй степени f. = п - 3 и т. д.
Сумму квадратов отклонений от тренда
|
Выражение (2) можно упростить. Допустим, что начало отчета времени находится в середине ряда, тогда t=0. Параметры а и b, как мы уже убедились ранее, в этом случае равны:
|
w - Разность первых двух членов правой стороны этого равенства равны
сумме квадратов отклонений от средней арифметической.Таким образом,
полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит
К изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения 
несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.