Что значит вычислить тройной интеграл и что это вообще такое?
Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО:
В простейшем случае, когда 
, тройной интеграл 
численно равен объёму тела 
. И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение 
равно бесконечно малому объёму 
элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: 
.
Кроме того, у тройного интеграла есть важные физические приложения. Но об этом позже – во 2-й части урока, посвящённой вычислениям произвольных тройных интегралов, у которых функция 
в общем случае отлична от константы и непрерывна в области . В данной же статье детально рассмотрим задачу нахождения объёма, которая по моей субъективной оценке встречается в 6-7 раз чаще.
Как решить тройной интеграл?
Ответ логично вытекает из предыдущего пункта. Необходимо определить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам. После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами.
Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы, с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность (грубо говоря, высота). И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы.
Развеем оставшиеся сомнения:
Пример 1
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу:
И ответьте на следующие вопросы. Знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве?
Если Вы склоняетесь к общему ответу «скорее нет, чем да», то обязательно проработайте урок Основные поверхности пространства, иначе дальше будет не продвинуться!
Решение: используем формулу 
.
Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.
По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:
Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость 
. Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)
Коль скоро проецирование проводится вдоль оси 
, то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет». В рассматриваемой задаче их три:
– уравнение 
задаёт координатную плоскость 
, которая проходит через ось 
;
– уравнение 
задаёт координатную плоскость 
, которая проходит через ось 
;
– уравнение 
задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .
Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник:
Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. Представьте, что из экрана монитора выходит ось и утыкается прямо в вашу переносицу (т.е. получается, что вы смотрите на 3-мерный чертёж сверху). Исследуемое пространственное тело находится в бесконечном трёхгранном «коридоре» и его проекция на плоскость вероятнее всего представляет собой заштрихованный треугольник.
Обращаю особое внимание, что пока мы высказали лишь предположение о проекции и оговорки «скорее всего», «вероятнее всего» были не случайны. Дело в том, что проанализированы ещё не все поверхности и может статься так, что какая-нибудь из них «оттяпает» часть треугольника. В качестве наглядного примера напрашивается сфера с центром в начале координат радиусом мЕньшим единицы, например, сфера 
– её проекция на плоскость (круг 
) не полностью «накроет» заштрихованную область, и итоговая проекция тела будет вовсе не треугольником (круг «срежет» ему острые углы).
На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение 
задаёт саму координатную плоскость , а уравнение 
– параболический цилиндр, расположенный над плоскостью и проходящий через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.
Кстати, здесь обнаружилась избыточность условия – в него было не обязательно включать уравнение плоскости 
, поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Интересно отметить, что в этом случае мы бы не сразу смогли начертить проекцию – треугольник «прорисовался» бы только после анализа уравнения .
Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра:
После выполнения чертежей с порядком обхода тела никаких проблем!
Сначала определим порядок обхода проекции (при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ ориентироваться по двумерному чертежу). Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ, как и в двойных интегралах! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:
Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость 
и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:
Перейдём к повторным интегралам:
С интегралами опять рекомендую разбираться по отдельности:
1) Начать следует с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница:
Подставим результат в «игрековый» интеграл:
Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно – к формуле 
объёма цилиндрического бруса! Дальнейшее хорошо знакомо:
2) 
3) 
Обратите внимание на рациональную технику решения 3-го интеграла.
Ответ: 
Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:
Но с этим способом будьте осторожнее – выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку.
Ответим на важный вопрос: