В чем сложность приема письменного деления на двух и трехзначные числа? Укажите последовательность изучения частных случаев деления, которые рассматриваются в учебниках математики начальных классов при знакомстве учащихся с алгоритмом письменного деления на 2-х и 3-хзначное число. Приведите рассуждения учеников в каждом из названных случаев.
3. Деление на дву- и трёхзначные числа.
Теоретическая основа:
1) алгоритм письменного деления на однозначное и круглое число,
2) алгоритм письменного вычитания,
3) свойство деления суммы на число.
На подготовительном этапе повторяют теоретическую основу.
Затем на специальном уроке знакомят с приёмом деления на двухзначное число.
Для этого используют тот же алгоритм, что на 1 и 2 этапах, но в процессе рассуждения меняется этап подбора цифры частного.
При ознакомлении с делением на двузначное число сначала рассматривают случаи, когда в частном получается одна цифра. Например:
492 82
492 6
Эту цифру частного находят приемом подбора с последующей проверкой.
При этом можно использовать два приема, облегчающих ребенку подбор цифры частного:
1) Прием ориентировки на таблицу умножения однозначных чисел. В этом случае ориентируются на последнюю цифру делителя, подбирая такую цифру частного, чтобы при умножении на нее получался результат, совпадающий с последней цифрой делимого.
Например, при делении 492: 82 это может быть 6, так как 2*6=12.
Проверка этой цифры частного при умножении 82*6 дает делимое 492.
Приведем еще один пример: 384:96
В таблице умножения числа 6 только множитель 4 дает в результате умножения число, оканчивающееся на 4: 6*4=24. Проверка цифры 4 в качестве пробной цифры частного дает делимое: 96*4=384. Следовательно 384:96=4.
Этот прием помогает быстро найти цифры частного, если речь идет о делении без остатка.
2) Прием замены делителя ближайшим разрядным числом. В этом случае делитель заменяется на ближайшее разрядное число (в данном случае вместо 96 можно брать 90). В отношении разрядного числа легче найти пробную цифру частного. В данном случае деление 38 дес. на 9 дес. дает пробную цифру частного - 4. Затем её проверяют, умножая на нее делитель. Цифра может подойти, а может и не подойти, поскольку ближайшее разрядное число берут не по правилу округления, а по принципу отбрасывания единиц. В этом случае проводится коррекция и уточненная цифра частного записывается в ответ.
Процесс деления многозначных чисел на двузначное и трехзначное технически очень сложный и трудоемкий.
Эти же приемы облегчения поиска пробной цифры частного можно использовать при делении на трехзначное число. Например: 1456 364
*
В частном будет одна цифра, поскольку 145 дес. нельзя разделить на 364 так, чтобы в частном получились десятки. В таблице умножения числа 4 только множители 4 и 9 дают в результате числа, оканчивающиеся числом 6. 3 сот., умноженные на 9, дадут 27 сот. - это число больше делимого. Проверим пробную цифру частного 4: 364*4=1 456. Значит 1 456:364=4.
Прием замены делителя на ближайшее разрядное число часто приводит к тому, что первая подобранная таким путем цифра часто приводит к тому, что первая подобранная таким путем цифра частного не подходит и ее нужно изменять. Это происходит потому, что замена происходит не по правилам округления, а простым отбрасыванием единиц делителя. Например: 282 47
*
Заменим 47 на ближайшее разрядное число - это 40, т. е. это 40 - это 4 дес. Разделим 28 дес. на 4 дес., получим 7 - это пробная цифра частного.
Проверяем, подходит ли цифра 7: 47*7=329 - это больше 282, значит, в частном должно быть меньше, чем 7.
Проверяем, подходит ли цифра 6: 47*6=282. Значит, 282:47=6.
Использование первого из обозначенных приемов в сочетании с приемом замены делителя на ближайшее разрядное число позволит уменьшить затраты сил и времени на поиски пробных цифр частного.
Использование общего приема округления делителя также позволит быстрее и точнее искать пробную цифру частного. В частности, в данном случае по правилам округления следовало округлять 47 до 50, а значит первая пробная цифра частного - это 6: 50*6=300˃282, но округление произведено с увеличением, а результат близко к делимому, значит можно пробовать 6 в качестве цифры частного.
Наиболее трудоемки случаи, требующие нескольких прикидок по цифрам частного. особо рассматривается случай, когда при первой пробе получается число 10. Например: 1016 127
*
В частном одна цифра. Прием округления, как и прием замены делителя на ближайшее разрядное число, дает в качестве делителя число 100. Первая пробная цифра частного в этом случае получается 10. Но число 10 содержит две цифры, поэтому оно не подходит.
Пробуем в качестве цифры частного 9. Проверяем: 127*9=1143˃1016, значит, цифра 9 не подходит.
Пробуем 8: 127*8-1016. Значит 1016:127=8.
При делении на дву- и трехзначное число в случаях, когда в частном получается не одна цифра, проще ориентироваться при подборе пробной цифры частного на первые цифры делимого и делителя. Например:
818 4 341 8184 341
* * 682 24
1364
1364
Первое неполное делимое - 818 десятков, значит, в частном будет две цифры - десятки и единицы.
Первая цифра делимого 8, первая цифра делителя 3, делим 8:3, можно взять по 2. Проверяем первую пробную цифру частного 341*2-682. Находим остаток 818-682=136˂341, значит, цифра 2 подходит.
Второе неполное делимое 1364, первая цифра 1, но она на 3 не разделится. Значит, делим 13 на 3. Можно взять по 4. Проверяем вторую подробную цифру частного 341*4=1364. Значит, 4 подходит. Деление окончено.
Ответ 24.
Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления на двузначное и трехзначное число. Если ребенок не владеет приемами, облегчающими поиск и первичную проверку пробных цифр частного, то он каждый раз умножает пробную цифру частного весь делитель, что является сложным и трудоемким процессом, который невозможно выполнить без применения письменных алгоритмов умножения.
Письменные алгоритмы умножения и деления на двузначное и трехзначное число дети изучают в конце 4 класса, поэтому учитель не всегда успевает уделить им достаточно много времени. Большие затраты времени при непродуктивном поиске пробных цифр частного приводят к тому, что на одном уроке дети успевают решить 2-3 примера. Большее количество примеров может быстро привести к утомлению детей и соответственно большому количеству ошибок при вычислениях. Использование продуктивных вычислительных приемов при выполнении письменных вычислений поможет ребенку в овладении осознанной вычислительной деятельностью.
Программа М. И. Моро
4 класс 2 часть стр. 57 - 3 этап (деление на двузначное число)
в частном 1 цифра и число проб равно1
стр. 58 - рассматривается деление на двузначное число с остатком.
стр. 59 - в частном получаем двузначное число, но число проб равно 1.
стр. 61 - вводят понятие «пробная цифра частного», т.е. рассматривают случаи, когда при округлении делителя получаем такую цифру, которая не подходит, следовательно, её нужно либо увеличить, либо уменьшить.
4 класс 2 часть стр. 72 - 3 этап (деление на трехзначное число)
в частном 1 цифра и число проб равно 1
стр. 73 - деление на трёхзначное число в частном две цифры и число проб равно 1.
деление на трёхзначное число, когда число проб больше 1.
Анализ программы И. И. Моро показал, что 3 этап изучают в 4 классе 2 части учебника. Здесь рассмотрены все частные случаи:
- деление на двузначное число в частном 1 цифра и число проб равно1
- деление на двузначное число в частном получаем двузначное число, но число проб равно 1.
- деление на трехзначное число в частном 1 цифра и число проб равно 1
- деление на трёхзначное число в частном две цифры и число проб равно 1.
- деление на трёхзначное число, когда число проб больше 1.
Программа Н. Б. Истоминой
4 класс 1 часть стр 43 - 3 этап (деление на двузначное число)
стр. 43 - деление с остатком в частном 1 цифра и число проб равно 2
4 класс 1 часть стр. 106 - 3 этап (деление на трехзначное число), и случай с 0 в частном
в частном 4 цифры и число проб равно 1
Анализ программы Н. Б. Истоминой показал, что в 4 классе 1 части рассматривают 3 этап. Алгоритм не дан. Здесь представлены следующие частные случаи:
- деление на двузначное число в частном 1 цифра и число проб равно 2
- деление на двузначное число в частном 5 цифр и число проб равно 1
- деление на трехзначное число в частном 4 цифры и число проб равно 1