Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов - Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.
Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей.
Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.
Определение гиперболы. Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть постоянная величина.
Каноническое уравнение гиперболы 
. Доказательство формулы во многом аналогично тому, что только что выводили для эллипса.
Асимптоты гиперболы: 
.
Наверное, вам более известна гипербола 
, однако это просто другая форма записи. Если представить эту кривую в виде 
, то видно, что здесь присутствует произведение 
, то есть квадратичная форма. Так вот, если её привести к главным осям, то получится система координат, повёрнутая на 45 градусов, и в ней уже (относительно новых переменных) будет разность квадратов.
ЛЕКЦИЯ № 10. 16.10.2019
Определение параболы. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от некоторой прямой и не лежащей на ней точки.
Эта прямая называется директрисой, точка - фокусом.
Каноническое уравнение параболы:  .
|
Выведем это уравнение из геометрического определения. Расположим прямую левее начала координат, а именно 
фокус - справа, это точка 
. Расстояние от произвольной точки 
до директрисы - просто по горизонтали, это 
.
Вычислим расстояние от до фокуса по теореме Пифагора:
.
Итак, есть равенство: =
тогда 
= 
,
следовательно, 
= 
,
в итоге .
Если директрису расположить горизонтально и точку над ней, то ветви параболы будут направлены не вправо, а вверх. В этом случае уравнение вида 
. В частности, для кривой 
получается, что 
, т.е. параметр 
.
В этом случае фокус расположен в точке 
, так как от фокуса до вершины параболы расстояние 
(см. вывод формулы).
Параболу можно представить как предельный случай эллипса: если правый фокус удаляется в бесконечность, то эллипс вытянется вправо, получится парабола.
Свойство фокусировки. Параллельные лучи после отражения от параболы собираются в фокусе. Именно на этом основано применение параболических антенн.
