по курсу «Уравнения математической физики»
3 курс, 5–6 семестры, 2016/2017 уч.г.
(с указанием теорем; сокращения см. ниже)
Поток Шанькова В.В.
1. Теорема о преобразовании дифференциального уравнения при переходе в криволинейную систему координат [ЗСКиМХ. Теорема 1.2.2]. Теорема о приведении дифференциального уравнения к диагональному виду в точке [ЗСКиМХ. Теорема 1.4.1].
2. Задача Коши в области для одномерного волнового уравнения. Теорема о формуле Даламбера, наибольшей области существования и единственности решения [ЗСКиМХ. Теорема 2.2.1]. Теорема о непрерывной зависимости решения от исходных функций [ЗСКиМХ. Теорема 2.2.2]. Пример Адамара некорректной задачи Коши [ЗСКиМХ. Теорема 1.5.1].
3. Смешанная задача для волнового уравнения в ограниченной области. Теоремы об интеграле энергии для ограниченной области [ВУиУТ. Теорема 3.1.3] и единственности решения [ВУиУТ. Теорема 3.1.4]. Метод Фурье на отрезке: построение «формального решения»; достаточные условия того, что «формальное решение» является классическим решением в терминах коэффициентов Фурье [ВУиУТ. Теорема 3.2.1].
4. Смешанная задача для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Принцип максимума [ВУиУТ. Теорема 4.1.1]. Метод Фурье на отрезке: построение «формального решения»; достаточные условия того, что «формальное решение» является классическим решением в терминах коэффициентов Фурье [ВУиУТ. Теорема 4.2.1].
5. Задача Коши для уравнения теплопроводности в 
. Принцип максимума [ВУиУТ. Теорема 2.2.2]. Теорема единственности решения задачи Коши в классе ограниченных в каждой полосе функций [ВУиУТ. Теорема 2.1.3]. Принцип Дюамеля [ВУиУТ. Теорема 2.2.1]. Теорема о формуле Пуассона [ВУиУТ. Теорема 2.4.1].
6. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема об энергетическом неравенстве в [ВУиУТ. Теорема 1.1.1]. Теорема о формуле Кирхгофа [ВУиУТ. Теорема 1.3.1]. Принцип Гюйгенса [ВУиУТ. Теорема 1.7.1].
7. Задача Коши для волнового уравнения. Принцип Дюамеля в [ВУиУТ. Теорема 1.2.1]. Метод спуска и теорема о формуле Пуассона [ВУиУТ. Теорема 1.4.1]. Теорема о формуле Даламбера [ВУиУТ. Теорема 1.5.1].
8. Интегральные уравнения в вырожденным ядром. Теорема об эквивалентности интегрального уравнения с вырожденным ядром алгебраической системе [ИУиЗШ-Л.
Теорема 1.1.1]. Три теоремы Фредгольма[ИУиЗШ-Л. Теоремы 1.1.2, 1.1.3 и 1.1.4].
9. Интегральное уравнение с малым непрерывным ядром. Теоремы о разрешимости [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.2.1] и об описании решений через резольвенту [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.2.2]. Теорема об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.3.2].
10. Интегральное уравнение с непрерывным ядром. Четыре теоремы Фредгольма [ИУиЗШ-Л. Теоремы 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5 и 1.3.6].
11. Интегральные уравнения с симметричным непрерывным ядром. Теорема Арцела–Асколи [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.4.1]. Теорема о существовании наименьшего по модулю характеристического числа [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.4.2].
12. Интегральные уравнения с симметричным непрерывным ядром. Теорема
о существовании решения спектральной задачи [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.4.3]. Теорема Гильберта–Шмидта [ИУиЗШ-Л. Теорема 1.4.4].
13. Задача Штурма–Лиувилля. Теорема существования и единственности функции Грина
[ИУиЗШ-Л. Определение 2.1.1 и теорема 2.1.1]. Теоремы об обратимости [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.1.2], о положительности [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.1.3] оператора Штурма–Лиувилля и о сведении задачи Штурма–Лиувилля к интегральному уравнению [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.2.1].
14. Задача Штурма–Лиувилля. Теоремы о кратности [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.3.1] и счётности [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.3.2] собственных значений. Теорема Стеклова [ИУиЗШ-Л. Теорема 2.3.4].
15. Определение функций Бесселя через степенной ряд [ИУиЗШ-Л. Определение 3.1.1]. Теорема о цилиндричности функций Бесселя [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.1.1]. Теоремы об ортогональности [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.1.3] и нулях [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.1.2] функций Бесселя. Теоремы о собственных функциях оператора Лапласа в полярной и декартовой системах координат [ИУиЗШ-Л. Теоремы 3.2.1 и 3.2.2].
16. Разложение в ряд по функциям Бесселя. Теоремы о решении спектральной задачи [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.3.2] и обратимости [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.3.3] для оператора Бесселя. Теорема о разложении в ряд по функциям Бесселя [ИУиЗШ-Л. Теорема 3.3.1].
17. Гармонические функции 
. Теоремы об основном интегральном представлении [ЭУ.
Теорема 1.1.2] и о среднем [ЭУ. Теорема 1.2.2]. Строгий принцип максимума [ЭУ. Теорема 1.2.3]. Нестрогий принцип максимума [ЭУ. Теорема 1.2.4]. Теоремы единственности решения внутренней [ЭУ. Теорема 1.3.1] и внешней [ЭУ. Теорема 1.3.3] задач Дирихле.
18. Гармонические функции в . Первая [ВУиУТ. Теорема 3.1.1] и вторая [ЭУ. Теорема 1.1.1] формулы Грина. Теоремы о необходимом условии разрешимости [ЭУ. Теорема 1.4.2] и неединственности [ЭУ. Теорема 1.4.1] решения внутренней задачи Неймана. Теорема о единственности решения внешней задачи Неймана [ЭУ. Теорема 1.4.3].
19. Оператор Лапласа в . Объёмный потенциал.Теоремы о гладкости, гармоничности, регулярности на бесконечности [ЭУ. Теорема 4.1.1] и решении уравнения Пуассона [ЭУ. Теорема 4.1.2].
20. Оператор Лапласа в . Потенциал двойного слоя. Теорема о гармоничности, регулярности на бесконечности, разрыве на границе [ЭУ. Теорема 4.2.1].
21. Оператор Лапласа в . Потенциал простого слоя. Теорема о гармоничности, регулярности на бесконечности, непрерывности и разрыве нормальной производной на границе [ЭУ. Теорема 4.3.1].
22. Оператор Лапласа в . Функция Грина задачи Дирихле [ЭУ. Определение 5.1]. Теорема об интегральном представлении через функцию Грина [ЭУ. Теорема 5.2]. Функция Грина для шара [ЭУ. Лемма 5.1.1]. Теорема о формуле Пуассона для шара [ЭУ. Теорема 5.1.1].
Сокращения:
ЗСКиМХ – Замена системы координат и метод характеристик: учебно-методическое пособие
/ сост. В.В.Шаньков. – М.: МФТИ, 2017.–44с. Выдают по 4 экземпляра на
группу ФАКИ и ФФКЭ. Можно заказать PDF-файл по телефону 8-903-747-03-89
и электронному адресу shankov@list.ru.
ВУиУТ – Волновые уравнения и уравнения теплопроводности: учебно-методическое
пособие / сост. В.В.Шаньков. – М.: МФТИ, 2017.–44с. Выдают по 4 экземпляра на
группу ФАКИ и ФФКЭ. Можно заказать PDF-файл по телефону 8-903-747-03-89 и
электронному адресу shankov@list.ru.
ИУиЗШ-Л – Интегральные уравнения и задача Штурма-Лиувилля: рукопись конспекта
лекций, DRAFT_10.04.17. Можно заказать печатную копию по телефону
8-903-747-03-89 и электронному адресу shankov@list.ru.
.
ЭУ – Эллиптические уравнения: рукопись конспекта лекций, DRAFT_19.05.17. Можно
заказать печатную копию по телефону 8-903-747-03-89 и электронному адресу
shankov@list.ru.