Контрольные вопросы к экзамену по дисциплине Алгебра и геометрия
1. Дайте определение векторного пространства. Приведите примеры векторных пространств, сформулируйте и докажите свойства векторных пространств.
2. Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости. Размерность векторного пространства: определение, примеры.
3. Базис конечномерного пространства. Теоремы о связи размерности пространства и количества векторов в базисе. Возможность дополнения линейно независимой системы векторов до базиса пространства.
4. Координаты вектора. Утверждение об единственности координатной строки. Матрица перехода от одного базиса к другому.
5. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Доказать, что матрицы перехода от одного базиса к другому и обратно невырожденные и взаимно обратные.
6. Подпространства векторного пространства: определение, примеры. Критерий подпространства.
7. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение базиса линейной оболочки.
8. Определение, примеры, свойства линейных отображений.
9. Матрица линейного отображения. Связь между координатами образа и прообраза вектора.
10. Ядро и дефект линейного отображения. Докажите, что ядро является подпространством соответствующего пространства. Укажите способы нахождения ядра линейного отображения с помощью матрицы линейного отображения.
11. Образ и ранг линейного отображения. Докажите, что образ является подпространством соответствующего пространства. Укажите способы нахождения образа линейного отображения. Сформулируйте теорему о связи ранга, дефекта и размерности пространства.
12. Линейные операторы, действия с линейными операторами и их свойства. Матрицы суммы, произведения линейных операторов.
13. Инвариантные подпространства. Собственные векторы линейного оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов.
14. Критерий и алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.
15. Свободные векторы. Операции над векторами.
16. Геометрическая интерпретация пространств R, R , R . Коллинеарные и компланарные векторы. Связь этих понятий с линейной зависимостью системы из двух и трех векторов.
17. Системы координат в пространствах над полем действительных чисел, их ориентация.
18. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
19. Векторное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
20. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
21. Прямая линия на плоскости. Способы задания прямой на плоскости.
22. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Геометрический смысл знака трехчлена Ax +By +C.
23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости.
24. Плоскость в трехмерном пространстве, способы ее задания. Вектор нормали плоскости.
25. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
26. Прямая линия в трехмерном пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
27. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
28. Кривые второго порядка. Эллипс: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы эллипса.
29. Гипербола: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
30. Парабола: определение, вывод уравнения, исследование формы.