Прикладная математика и информатика, 1 курс, 2 семестр




Контрольные вопросы к экзамену по дисциплине Алгебра и геометрия

1. Дайте определение векторного пространства. Приведите примеры векторных пространств, сформулируйте и докажите свойства векторных пространств.

2. Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости. Размерность векторного пространства: определение, примеры.

3. Базис конечномерного пространства. Теоремы о связи размерности пространства и количества векторов в базисе. Возможность дополнения линейно независимой системы векторов до базиса пространства.

4. Координаты вектора. Утверждение об единственности координатной строки. Матрица перехода от одного базиса к другому.

5. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Доказать, что матрицы перехода от одного базиса к другому и обратно невырожденные и взаимно обратные.

6. Подпространства векторного пространства: определение, примеры. Критерий подпространства.

7. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение базиса линейной оболочки.

8. Определение, примеры, свойства линейных отображений.

9. Матрица линейного отображения. Связь между координатами образа и прообраза вектора.

10. Ядро и дефект линейного отображения. Докажите, что ядро является подпространством соответствующего пространства. Укажите способы нахождения ядра линейного отображения с помощью матрицы линейного отображения.

11. Образ и ранг линейного отображения. Докажите, что образ является подпространством соответствующего пространства. Укажите способы нахождения образа линейного отображения. Сформулируйте теорему о связи ранга, дефекта и размерности пространства.

12. Линейные операторы, действия с линейными операторами и их свойства. Матрицы суммы, произведения линейных операторов.

13. Инвариантные подпространства. Собственные векторы линейного оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов.

14. Критерий и алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.

15. Свободные векторы. Операции над векторами.

16. Геометрическая интерпретация пространств R, R , R . Коллинеарные и компланарные векторы. Связь этих понятий с линейной зависимостью системы из двух и трех векторов.

17. Системы координат в пространствах над полем действительных чисел, их ориентация.

18. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.

19. Векторное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.

20. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.

21. Прямая линия на плоскости. Способы задания прямой на плоскости.

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Геометрический смысл знака трехчлена Ax +By +C.

23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости.

24. Плоскость в трехмерном пространстве, способы ее задания. Вектор нормали плоскости.

25. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

26. Прямая линия в трехмерном пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

27. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

28. Кривые второго порядка. Эллипс: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

29. Гипербола: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

30. Парабола: определение, вывод уравнения, исследование формы.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: