ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по математическому анализу
Для студентов групп ИС и ПИ 1 семестра факультета ИТС
Экзамен по ПРОГРАММЕ-МИНИМУМ проводится для всех студентов. В билете 7 вопросов, в том числе несколько задач. При ответе на теоретический вопрос доказательство не приводится. Для положительной оценки нужно правильно ответить на 5 (25 баллов), 6 (30 баллов) или все 7 (до 36 баллов) вопросов. Ответ на каждый вопрос должен быть изложен письменно на экзаменационном листе.
Студент, правильно ответивший на 6 или 7 вопросов, по желанию допускается к сдаче экзамена по ПОЛНОЙ ПРОГРАММЕ с оценкой до 54 баллов. В билет по этой программе входит теоретический вопрос и задача. При ответе на теоретический вопрос необходимо привести сопутствующие определения и, если указано, доказательства; возможны также дополнительные вопросы (в рамках программы). Общая оценка – не меньше той, которую студент получил при сдаче ПРОГРАММЫ-МИНИМУМ.
ПРОГРАММА-МИНИМУМ
а) знать определения и обозначения следующих математических понятий, уметь приводить примеры, их иллюстрирующие –
числовая функция, основные элементарные функции и их графики, последовательность, число e, бесконечно малая (б.м.) функция при 
(¥), эквивалентные б.м., непрерывность функции в точке, приращение функции, производная, точка максимума (минимума, экстремума) функции;
первообразная, неопределенный интеграл, интегральная сумма, определенный интеграл;
б) знать следующие математические факты, формулы, формулировки теорем и утверждений –
теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций, необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке, механический и геометрический смысл производной, таблица производных основных элементарных функций, достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале, теорема Ферма;
свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов, геометрический смысл и основные свойства (линейность, аддитивность, монотонность) определенного интеграла, основная теорема интегрального исчисления (о формуле Ньютона–Лейбница);
в) уметь –
строить простые графики на основе графиков основных элементарных функций, вычислять пределы последовательностей и функций (в частности, раскрывать неопределенности типа 
(с применением теоремы о замене б.м. эквивалентными) и 
), находить производные явно и параметрически заданных функций, составлять уравнения касательной и нормали к графику функции, использовать первую производную для исследования функции с построением графика (интервалы возрастания (убывания), точки экстремума), находить вертикальные и горизонтальные асимптоты, находить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке;
применять свойства неопределенных и определенных интегралов, методы замены переменной (подведение под знак дифференциала, подстановки) и интегрирования по частям для вычисления неопределенных и определенных интегралов, применять определенный интеграл для вычисления площади криволинейной трапеции.
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА ПО ПРОГРАММЕ-МИНИМУМ
1. Построить график функции 
.
2. 
? (Ответ: 
)
3. Под каким углом линия 
пересекает ось x? (Ответ: 
)
4. 
. 
? (Ответ: 
)
5. Верно ли равенство 
? Если нет, то, как его исправить?
6. Свойство монотонности определенного интеграла.
7. 
? (Ответ: 
)
ПОЛНАЯ ПРОГРАММА
1. Монотонные и ограниченные последовательности. Определение предела последовательности. Теорема о сходимости монотонной последовательности.
2. Определение предела функции в точке. Первый замечательный предел. Предел функции при 
. Второй замечательный предел. Теоремы о функциях, имеющих предел (о сохранении знака, об ограниченности, о переходе к пределу в неравенстве).
3. Теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение б.м. функций. Теорема о замене б.м. эквивалентными.
4. Классификация точек разрыва.
5. Вывести производные функций 
, 
, 
, 
. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции.
6. Вывести производные функций 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
7. Дифференцируемость функции в точке. Доказать необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Доказать непрерывность дифференцируемой функции. Пример непрерывной недифференцируемой функции.
8. Геометрический смысл производной (доказать). Вывести уравнения касательной и нормали к графику функции. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.
9. Дифференциал и его связь с производной. Правила нахождения (свойства) дифференциала (доказать для частного и сложной функции). Приближенное вычисление приращения функции с помощью дифференциала.
10. Правило Лопиталя. Доказать теорему Ферма.
11. Доказать достаточное условие экстремума.
12. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции на данном интервале. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
13. Нахождение асимптот графика функции. Вывести формулы для нахождения коэффициентов 
и 
наклонной асимптоты.
14. Теорема об общем виде первообразной. Доказать свойства неопределенного интеграла.
15. Таблица основных интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле. Вывести формулу интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
16. Рациональные дроби. Разложение неправильной дроби на многочлен и правильную дробь. Простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей (первых трех типов). Разложение правильной дроби на простейшие.
17. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Необходимое условие интегрируемости, достаточные условия интегрируемости. Доказать свойства линейности, аддитивности и монотонности определенного интеграла. Доказать теорему о среднем.
18. Доказать теорему о производной определённого интеграла по верхнему пределу. Доказать формулу Ньютона–Лейбница.
19. Доказать теоремы о замене переменной и интегрировании по частям для определённого интеграла.
20. Определение длины дуги кривой. Вывести формулу для вычисления длины дуги графика функции.
21. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Сходимость интегралов 
.