ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 138
Дисциплина Математика
Курс 1
Тема занятия: Определение вероятности и операции над ними
Тип урока: Урок изучения нового материала
Вид занятия: Лекционно-практическое занятие
Цели:
– обучающая: введение понятия вероятности; знакомство с основными операциями над вероятностными событиями, добиться усвоения обучающимися систематических сведений о понятии вероятности, алгоритме нахождения вероятности события, сформировать навыки нахождения вероятности с помощью использования информационных технологий.
– развивающая: развитие усидчивости, самостоятельности
– воспитательная: воспитание самостоятельности, умения работать в группах
Задачи:
- должен знать: понятие вероятности, основные операции над вероятностными событиями
- должен уметь: применять знания к решению практических задач
Формируемые компетенции:
– общие: ОК 1-9
– профессиональные: ПК 1.1. – 4.3.
Обеспечение занятия: учебники
Внутридисциплинарные связи: Данная тема является центральной при изучении раздела: «Элементы теории вероятности и математической статистики», поэтому связана с такими темами как: «Подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний», «Формула бинома Ньютона», «Свойства биномиальных коэффициентов», «Треугольник Паскаля», «Основные теоремы и формулы теории вероятности», «Понятие о зависимости событий», «Дискретная случайная величина, закон ее распределения», «Понятие о законе больших чисел», «Основные задачи и понятия математической статистики», «Представление данных, генеральная совокупность. Выборка, среднее арифметическое, мода, медиана»
Междисциплинарные связи: Эта тема является важной при изучении отдельных тем в геометрии, теории чисел, математического анализа
Ход занятия
I.1. Организация занятия (3 мин.).
I.2. Сообщение темы и целей занятия. (3 мин.)
Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти.
Учащимся предлагается назвать примеры событий достоверных, случайных и невозможных.
Никакая наука, в том числе и математика, не претендует на то, чтобы делать какие-либо предсказания относительно исхода какого-либо одного подобного эксперимента.
Изучать случайное событие можно только тогда, когда есть хотя бы принципиальная возможность повторить опыт многократно, и каждый раз фиксировать осуществление (или неосуществление) рассматриваемого события. События, обладающие свойством статистической устойчивости частоты, являются предметом изучения специальной математической дисциплины – теории вероятностей.
Познакомимся с историей возникновения и вехами развития нового для нас раздела математики.
В предисловии к книге «Аналитическая теория вероятностей» французский математик П.Лаплас писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей». Сегодня же теория вероятностей завоевала всеобщее признание и занимает ведущие позиции в мировой науке. Поэтому в последние годы она была включена в школьный курс математики.
I.3. Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (5 мин.)
Как и каждая наука, теория вероятностей пользуется некоторым математическим аппаратом, определёнными формулами. Такими аппаратом для теории вероятностей является комбинаторика. Основные формулы комбинаторики перед вами на стенде. Повторим их. Учащиеся рассказывают об основных понятиях комбинаторики. Итак, обладая необходимым математическим аппаратом, мы можем приступать к изучению новой для нас науки.
I.4. Сообщение и усвоение новых знаний. (25 мин.)
Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Также в обыденной жизни мы часто говорим «возможно», невозможно», «вероятно», маловероятно», «обязательно». Подобные выражения обычно используются, когда мы говорим о возможностях наступления какого-либо события или явления. С такими событиями мы встречаемся очень часто, но не всегда их замечаем. Казалось бы, тут нет места для математики– какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Немного истории о возникновении теории вероятности:
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.
Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.
Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста ДжероламоКардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.
Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числи очков равна 3/6,так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.
Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.
На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.
Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге «О расчётах в азартной игре» (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: «...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной». Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие в трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.
Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.
Основные понятия теории вероятности:
Определение: Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно- статистические закономерности.
Например, с помощью данной теории можно посчитать вероятность того, что конкретного ученика в классе вызовут к доске на уроке.
На основе теории вероятностей возникла специальная наука – математическая статистика.
Статистика –наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей»
Статистика знает всё!
Известно, сколько, какой пищи съедает в год в среднем гражданин республики. Сколько в стране охотников, балерин, артистов, рабочих и т. д.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. Статистические характеристики применяют для нахождения средней урожайности пшеницы с 1 га в данном районе, среднего суточного удоя молока от одной коровы на ферме и т.д
Рассмотрим основные понятия теории вероятности.
Теория вероятности, как и любой, раздел математики, оперирует определённым кругом понятий. Большинству понятий теории вероятностей даются определения, но некоторые принимаются за первичные, не определяемые, как в геометрии точка, прямая, плоскость. Первичным понятием теории вероятностей является событие. Под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:
Да, оно произошло.
Нет, оно не произошло.
Например, у меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей либо происходит, либо не происходит. Любое событие происходит вследствие испытания (или опыта). Под испытанием (или опытом) понимают те условия, в результате которых происходит событие. Например, подбрасывание монеты – испытание, а появление на ней “герба” – событие. Событие принято обозначать заглавными латинскими буквами: A,B,C,…. События в материальном мире можно разбить на три категории – достоверные, невозможные и случайные.
Определение: Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.
Например, случайным событием является солнечная погода.
В обычном понимании вероятностью называют количественную оценку возможности наступления ожидаемого события.
Определение: События, которые в данных условиях произойти не могут, называются невозможными.
Например, то, что последний день зимы придется на 30 февраля.