Глава 7. Подобные треугольники.

Глава 5. Четырехугольники.

Теория

 

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние стороны.

Сумма углов многоугольника равна .

 

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

 

Параллелограммом называет четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

 

Признаки параллелограмма 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и парал-лельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелог-рамм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырех-угольник – параллелограмм. Свойства параллелограмма 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения де-лятся пополам.

 

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Свойство трапеции: Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.

Виды трапеций

1. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

2. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Признаки равнобедренной трапеции

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны, то она равно-бедренная.

Свойства равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

 

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

 

Особое свойство: Диагонали прямоугольника равны.

 

Признаки прямоугольника

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

 

Особое свойство: Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-ны и делят его углы пополам.

 

Признаки ромба

1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.

 

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Глава 6. Площадь.

Теория

Площадь многоугольника

Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами:

1) равные многоугольники имеют равные площади;

2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников ();

3) площадь квадрата равна квадрату его стороны ().

За единицу измерения площади принимают единичный квадрат, т.е. квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

	Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
	Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
	Площадь треугольника равна половине произве-дения его основания на высоту.
	Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
	Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
	Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающие равные углы.

	Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
	Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

3, 4, 5 или 5, 12, 13 или 8, 15, 17 и т.д.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема, обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Формула Герона

Площадь равностороннего треугольника

Глава 7. Подобные треугольники.

Теория

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т. е. .

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если .

	Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
	Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам .
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия .	Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия .
	Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника .

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Два равносторонних треугольника подобны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны .

 

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины .

Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если .

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой .

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла .

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету .

Основное тригонометрическое тождество: .	Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.