Знаешь, за что, согласно легендам, убили одного древнего математика-философа по имени Гиппас?
За то, что он открыл иррациональные числа! А другие философы сочли, что такое открытие нарушает "идеальность" окружающей нас природы.
Сегодня ты узнаешь, что такое иррациональность, как решать иррациональные уравнения и почему нам не следует бояться их, как это делали древние математики!
Поехали!
Что такое иррациональные уравнения?
Не секрет же, что большинство чисел можно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числами в числителе и знаменателе?
Например, число 7 – это 21/3
Иррациональные числа не такие. Их невозможно представить в виде дроби. Они странные.
Гиппас создал античным математикам множество проблем: их теории о том, что все в мире соизмеримо целым числам, рушились одна за другой. И они боялись.
Но мы будем смелыми 🙂
· 3⋅(x+1)=x – как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
· 3⋅(x+1)=x−−√ – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
· 3⋅(x+1)=x2 – тут вот степень, но она с целым показателем степени (2– целое число) – значит, это тоже рациональное уравнение;
· 3⋅(x+1)=x−1 – даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь, по сути, x−1 – это 1/x;
· 3⋅(x+1)=x0 – тоже рациональное, т.к. x0=1;
· 3⋅(x+1)=x1/2 – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней x1/2=x−−√, как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.
Надеюсь, теперь ты сможешь различить, к какому виду относится то или иное уравнение.
Дадим oпределение:
Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.
Для того, чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его), повторять эту процедуру, пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
2. Решить получившееся рациональное уравнение;
3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.
Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?
Так избавься от них, вот и все дела!
Если еще не догадался, как, то я подскажу: просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение.
Но проверяй все корни! Позже ты поймешь, почему делать это необходимо.
Решение примера №1
Вот такое уравнение:
√2x+1=3
Корень из икса видишь? Значит, какое уравнение?
Верно, оно иррациональное! Что дальше?
Избавляемся от корней. Поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:
2x+1=9
2x=8
x=4
Вот и все, почти все, что осталось сделать?
Правильно.
Решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней!
Подставим 4 в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому что нам нужно найти его корни, а, возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже).
3=3 – тут все верно.
Решение примера №2
Давай еще одно:
2. √2x−5=√4x−7
О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:
2x−5=4x−7, упрощаем: x=1.
Проверка, подставим 1 в исходное уравнение:
√−3=√−3
Вот это да! Ничего тебя тут не смущает?
Под квадратным корнем у нас отрицательное число!
Как же так вышло?
А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения.
Да, это корень уравнения 2x−5=4x−7, но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований!
В ответе пишем «нет решения».
Решение примера №3
Что будем делать, чтобы отточить свои навыки? Будем еще решать, вот уравнение:
4. √12−x=x
После возведения обеих частей в квадрат имеем:
12−x=x2, упрощаем и решаем квадратное уравнение.
У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки.
Подставляем 3, -4
√9=3, 3=3 – подходит.
Подставим −4, получим √16=−4...
Но ведь 4≠−4! Что же получается, −4 – посторонний корень.
Заговор какой-то!
Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.
· Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный
· или корень 4 степени и т.д.;
· Если подкоренное выражение отрицательно, то корень не имеет смысла (не существует);
· Если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю;
· Если подкоренное выражение положительно, то значение корня
· существует и положительно.
·
Если показатель степени нечетный (√3 √5...), то корни определены при любом значении подкоренного выражения.
При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.
Примеры: −27−−−−√3=−3, 0–√3=0, 27−−√3=3.
Но не все так просто, как хотелось бы.
