Математическая модель процесса разорения

ПРОЦЕССЫРАЗОРЕНИЯ В СТРАХОВОМ ДЕЛЕ

Математическая теория процессов разорения, возникающих в страховом деле, ведет начало с 1903 г. с работ Лундберга [21, 22]. Дальнейшие исследования в этой области проводились между 1926 и 1955 г. Лундбергом [23—25], Крамером [9—14], Эстером [17], Сегердалом [31—34], Тэклиндом [36], Саксеном [29, 30], Амметером [1], Арфведсоном [2 — 6] и др.

Предположим, что компания производит обычные страховые операции (страхование жизни, нетрудоспособности, несчастного случая, болезни, аварии, пожара, страхование обязательств и т. д). Держатели полисов регулярно выплачивают страховые премии. Компания собирает премии в резервный фонд и, если происходит страховой случай, выплачивает договорную сумму. Страховую компанию можно рассматривать как регулировочный аппарат для держателей полисов, индивидуальные риски определяются ком­панией в виде цены страховой премии. Размеры страховых пре­мий назначаются таким образом, чтобы в течение длительного периода они покрывали в среднем выплаты компании на страхо­вые случаи. Страховая премия, исчисляемая этим способом, на­зывается чистой страховой премией. В дополнение к чистой стра­ховой премии держатели полисов выплачивают ценную страховую премию для покрытия нежелательных отклонений от среднего. Сумма чистой и ценной страховых премий составляет общую страховую премию. Это пример страхования лишь с положитель­ными премиями и положительными страховыми суммами.

Существуют другие виды страхования, противоположные опи­санному. Типичный случай — операции с пожизненной рентой. Здесь компания постоянно выплачивает ренту держателям поли­сов, в то время как случайная смерть одного из держателей полисов представляет соответствующую сумму в распоряжение компании, играя таким образом роль выплаты держателя полиса компании, или выплаты компании держателю полиса отрицатель­ной суммы. Рента также может рассматриваться как отрицатель­ная страховая премия. Это пример страхования лишь с отрица­тельными страховыми премиями и отрицательными страховыми суммами.

Случаи только положительных страховых сумм (отсутствие ренты) и только отрицательных страховых сумм (чистые операции с рентой) являются важными частными случаями. Однако, вообще говоря, компания может вести страховые дела обоих типов.

Суммы, выплачиваемые компанией при установлении страхового случая, могут тогда быть как положительными, так и отрица­тельными. Аналогично страховые премии, взимаемые компанией, могут быть как положительными, так и отрицательными (выплата по ренте).

Теория разорения изучает вероятностные законы, которым подчиняются случайные флуктуации резервного фонда. Знание этих законов важно для того, чтобы быть в состоянии вовремя принять меры предосторожности.

Математическая модель процесса разорения

Пусть в интервале времени (0, ∞) страховые случаи происхо­дят согласно процессу Пуассона с интенсивностью λ(ԏ), 0≤ԏ<∞. Страховые суммы, выплачиваемые компанией, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, являются взаимно независимыми одинаково распределенными случайными величи­нами с функцией распределения Н(҇х), и они не зависят от мо­ментов наступления страховых случаев.

Вместо того чтобы рассматривать процесс наступления страхо­вых случаев в обычном времени, удобно ввести новую временную переменную (оперативное время, преобразованное время) u = u (ԏ):

u = (v)dv, (l)

где λ — положительная константа. Если тогда обозначить че­рез x҇ (и) общую страховую сумму, выплаченную в интервале (0, и], то (x҇ (и), 0≤u<∞} будет стохастическим процессом со стацио­нарными независимыми приращениями и функцией распределения

Р{҇х <u≤x} = Н_п (х), (2)

где Н_п(х) есть n-я свертка функции Н(х); Н₀(х)=1 при x≥ 0 и H₀ (х) = 0 при х < 0. Процесс fie (и), 0 =SC и < оо} — это обобщенный пуассоновский процесс. Если интеграл

a= dH(x) (3)

существует, то общая средняя страховая сумма, выплачиваемая компанией в интервале (0, и], равна

Е {x҇ (и)} = λau. (4)

В условиях частного бизнеса накопленная чистая страховая премия (премии за вычетом выплачиваемой ренты) в интервале (0, и] равна λаи. Если применяются также ценные страховые премии, to общая страховая премия равна {λа + b)и, где b>0 при а>0 (например, в случае положительных страховых премий) b<0 При а<0 (например, в случае отрицательных страховых премий). Предположим, что в момент и = 0 компания располагает началь­ным капиталом х для покрытия потерь из-за случайных флуктуа­ции. Тогда резервный фонд в момент и равен

у(и) = х + с – (҇х) (и) (5)

для 0 ≤ и < ∞, где у (0) = х — начальный резервный фонд в момент и = 0, а с — константа.

Одна из основных задач в теории разорения состоит в опре­делении вероятности разорения, т. е. вероятности того, что резерв­ный фонд когда-нибудь станет отрицательным, или, более точно, вероятности того, что разорение произойдет до момента t.

Обозначим через Ө_x момент времени, когда впервые резервный фонд становится отрицательным в интервале (0, ∞), т. е.

= inf{u: y(u)<0 для 0≤ u<∞} (6)

и = ∞ при y≥0 для u≥0.

Тогда вероятность того, что разорение произойдет в интервале (0, t], равна

P{Ө_x≤t}= l-P{ [х(u)-u]≤x}, (7)

а вероятность того, что разорение когда-нибудь произойдет, равна
Р{ <∞}=1-Р{ sup [ (и)-сu]≤х}. (8)

Если вероятности Р { <∞} и P{ } известны, то можно принять меры предосторожности (увеличение премии, перестрахо­вание и т. д.), позволяющие уменьшить вероятность разорения настолько, чтобы оно было практически невозможно. Обозначим

W(t,x)-P{ x҇(u)-cu]≤} (9)

W(x) = Р{ [х҇(u)-сu]≤ x}. (10)

Большинство исследований посвящено нахождению функций рас­пределения W(x), W(t, x) и их асимптотик при больших зна­чениях X.