А и 7- Б
Цель: развить навыки разложения выражений на множители.
Планируемые результаты: научиться использовать различные приемы разложения выражений на множители.
Ход урока:
При разложении на множители многочленов ранее уже использовались три основных способа:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) группировка членов, имеющих общий множитель;
3) применение формул сокращенного умножения.
В основном при разложении на множители используются сочетания указанных способов. При этом преобразование выражения надо начинать (если это возможно) с наиболее простого способа — вынесения общего множителя.
Пример 1
Разложим на множители многочлен 5а – 40a4.
Видно, что члены многочлена имеют общий множитель 5а. Вынесем его за скобки:
Многочлен 1 - 8а3 представляет собой разность кубов числа 1 и одночлена 2а и также может быть разложен на множители:
Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 5а и многочлены 1 - 2а и 1 + 2а + 4а2.
Пример 2
Разложим на множители многочлен 12х3 - 12х2 + 3х.
Все члены многочлена имеют общий множитель 3х. Вынесем его за скобки:
Многочлен 4х2 - 4х + 1 является квадратом двучлена 2х - 1, т. е. 4х2 - 4х + 1 = (2х - 1)2.
Таким образом, данный многочлен имеет вид 12х3 - 12х2 + 3х = 3х(2х - 1)2, т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 3х и два многочлена 2х - 1 (или квадрат многочлена 2х - 1).
Пример 3
Разложим на множители многочлен
Сначала вынесем за скобки общий множитель 2х2 и получим
Теперь разложим на множители многочлен а2 + 3а - ab – 3b. Для этого сгруппируем первый член с третьим и второй член с четвертым.
Получаем
Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 2х2 и многочлены а - b и а + 3.
Пример 4
Разложим на множители многочлен 12ах + 36 - 4а2 - 9х2.
Сгруппируем первый, третий и четвертый члены многочлена: 36 + (12ах - 4а2 - 9х2). Из второго слагаемого вынесем общий множитель -1 и получим 36 - (4а2 - 12ах + 9х2). Выражение в скобках является квадратом разности. Поэтому получаем 62 - (2а - 3х)2. Используя формулу разности квадратов, разложим выражение на множители:
Таким образом, данный многочлен можно записать в виде т. е. многочлен разложен на множители — многочлены 6 - 2а + 3х и 6 + 2а - 3х.
Напомним, что иногда для разложения многочлена на множители удобно некоторые его члены представить в другом виде или ввести дополнительные члены.
Пример 5
Разложим на множители многочлен х3 - х2 - 2х.
Прежде всего, вынесем общий множитель х за скобки:
Затем разложим на множители квадратный трехчлен х2 - х - 2. Для этого последний член -2 представим в виде -2 = -1 - 1 и выполним группировку членов:
Используя формулу разности квадратов, разложим первое слагаемое на множители:
Поэтому данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен х и два двучлена х + 1 и х - 2.
Пример 6
Разложим на множители многочлен х4 + х2 + 1.
Для разложения данного многочлена на множители дополним его до квадрата суммы. Для этого прибавим и вычтем х2. Получаем
Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен четвертой степени разложен на множители — два многочлена второй степени х2 - х + 1 и х2 + х + 1.
Заметим, что разложение многочлена на множители подразумевает его представление в виде произведения нескольких многочленов.
Пример 7
Рассмотрим еще раз квадратный трехчлен х2 - х - 2 из примера 5. Его разложением является представление х2 - х - 2 = (х + 1)(х - 2), т. е. в виде произведения двух многочленов первой степени х + 1 и х - 2. Очень часто встречаются следующие “разложения” на множители:
не является разложением, так как второй множитель не имеет целых коэффициентов;
не является разложением, так как не представлено произведение множителей (из произведения х(х - 1) вычитается число 2);
не является разложением, так как множитель не является многочленом.
Не каждый многочлен может быть разложен на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены 2х2 + 4, 3х2 + 5х + 3 и т. д.
Задания на уроке:
Письменно решить в тетради
№ 934 (а,б), 936 (а,б,в)
Устно ответить на вопросы:
— Перечислите основные способы разложения многочленов на множители.
— Охарактеризуйте каждый способ разложения многочленов на множители.
Домашнее задание: п 38 с.186-187 читать, разобрать примеры
решить письменно: № 934 (в,г), 936 (г)