Вопросы к экзамену – Теория начального математического образования
Элементы логики: множества и операции над ними, математические понятия, математические предложения, математические доказательства, задача и процесс её решения
1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами и их свойства.
2. Объединение, пересечение и вычитание множеств. Свойства объединения и пересечения (с иллюстрацией на кругах Эйлера). Примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых учащиеся явно (или неявно) выполняют пересечение, объединение, вычитание множеств.
3. Разбиение множества на классы (классификация). Примеры разбиения множеств на два (три, четыре и т. д.) подмножества. Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.
4. Декартово произведение множеств, его свойства. Понятие кортежа. Понятие кортежа. Примеры заданий из начального курса математики, связанных с образованием декартова произведения множеств.
5. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие. Примеры понятий из начального курса математики.
6. Структура определения понятия через род и видовое отличие. Требования к таким определениям. Использование определений через род и видовое отличие при решении задач на распознавание. Примеры понятий из начального курса математики, находящихся в родовидовых отношениях.
7. Элементарные и составные высказывания. Правила определения значений истинности составных высказываний. Примеры элементарных (простых) и составных высказываний из начального курса математики.
8. Высказывательная форма, ее область определения и множество истинности. Составные высказывательные формы, правила определения их множеств истинности. Примеры высказывательных форм из начального курса математики.
9. Высказывания с кванторами. Способы установления значения истинности таких высказываний. Примеры высказываний с кванторами из начального курса математики.
10. Отношения логического следования и равносильности между математическими предложениями. Разные способы прочтения предложений А(х)ÞВ(х) и А(х)ÛВ(х). Логическая структура теоремы и правила. Примеры правил из начального курса математики с анализом их логической структуры.
11. Дедуктивные умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Примеры построения дедуктивных умозаключений с использованием этих схем.
12. Неполная индукция и аналогия, их взаимосвязь с дедуктивными умозаключениями. Примеры умозаключений из начального курса математики с использованием неполной индукции и аналогии.
13. Особенности математического доказательства. Способы доказательств. Примеры доказательств из начального курса математики.
14. Текстовые задачи, их структура и методы решения. Моделирование в процессе решения текстовой задачи. Примеры простых и составных задач из начального курса математики.
15. Основные этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения. Иллюстрация приемов на примере решения задачи из начального курса математики.
Элементы алгебры: соответствия, числовые функции, отношения на множестве, алгебраические операции над множествами
16. Понятие соответствия между множествами. Способы заданий соответствий. Взаимно-однозначные соответствия. Равномощные множества. Примеры соответствий (в том числе взаимно-однозначных) из начального курса математики.
17. Функциональные соответствия. Числовые функции, способы их задания. График функции. Примеры числовых функций из начального курса математики.
18. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач в начальном курсе математики.
19. Отношения на множестве, их свойства. Примеры отношений из начального курса математики.
20. Отношения эквивалентности и порядка. Примеры отношений эквивалентности и порядка из начального курса математики.
21. Алгебраические операции и их свойства. Примеры алгебраических операций, изучаемых в начальном курсе математики.
22. Нейтральный, поглощающий, симметричный элементы алгебраической операции. Обратная операция. Необходимое и достаточное условие существования обратной операции.
23. Понятие алгебраической структуры. Определение группы. Примеры групп.
Некоторые понятия числовой алгебры
24. Числовое выражение и его значение. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства. Определение числового выражения, числового равенства и неравенства в начальном курсе математики.
25. Выражение с переменными. Область определения выражения. Тождественные преобразования выражения с переменной. Тождество. Примеры тождественных преобразований выражений из начального курса математики.
26. Линейное уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Что значит «решить уравнение». Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений. Определение понятия уравнения в начальном курсе математики, способы их решения.
27. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Равносильность неравенств. Теоремы о равносильности неравенств. Определение неравенства с переменной в начальном курсе математики, способы их решения.