Положение прямой относительно плоскостей проекций.
Следы прямой.
Взаимное положение линий, точки и линии. Определение
Видимости на чертеже.
Определение длины отрезка прямой.
Деление отрезка прямой в заданном отношении.
7. Задание на чертеже окружности. Ортогональные проекции винтовой линии.
1.Линии.
Линии в зависимости от формы и способа образования делятся на прямые и кривые линии, на плоские и пространственные.
Прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками.
Кривая линия – след точки, движущейся по определенному закону; или другое определение – геометрическое место точек, обладающих данными свойствами. Кривые линии могут быть заданы аналитически, то есть уравнениями, и графически на чертеже.
Порядок плоской кривой геометрически определяется так: порядком называется число точек пересечения кривой с прямой линией.
Плоские линии – все точки, которой принадлежат одной плоскости.
Пространственные – не лежат всеми своими точками в одной плоскости. Порядок пространственной кривой называется число ее точек пересечения с плоскостью общего положения.
Две точки определяют положение прямой в пространстве, поэтому чтобы задать прямую на чертеже необходимо иметь не менее двух проекций двух точек, принадлежащих данной прямой, и соединить их одноименные проекции.
Образование прямой аналогично образованию комплексного чертежа точки. Прямую прямоугольно проецируют на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 (рис.1). Плоскость П1 вращением вниз вокруг оси ох совмещают с плоскостью П2 и получают эпюр двух проекций А'В' и А''В'' (рис.2). Для построения третьей проекции прямой достаточно построить третьи проекции точек, ее задающих и соединить их прямой или, имея безосный эпюр, более предпочтительный способ построения третьей проекции на рис.5.
ЛЕКЦИЯ 2 –2
 |
П2
А″
A А″ Аz А′″ 
B″ B B″ 
B′″
Ax
Bх A′ Bх Аx 0 
B′
П1 B′ А′ Ау 
Рис. 1 Рис. 2
Положение прямой относительно плоскостей проекций
На рисунках 1,2,3,4 и 5 заданы прямые общего положения, т.е. не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.
А'' А'' А'''
А''
В'' В'' В'' В'''
х х
В' В' А'
А' А' В'
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Прямые частного положения.
Прямые по отношению к плоскостям проекций могут быть параллельны и называться линиями уровня: г оризонталь h – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1 (рис.6 и 7). Запомнить: h // П1 h''//ox h' – по построению.
 |
П2
h''hh''h'''
 |  |  | |||
h'
П1h'
Рис. 6 Рис. 7
ЛЕКЦИЯ 2 - 3
Фронталь – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 8 и 9).
f // П2 f' // ox f'' – строится по построению
 | |||
 | |||
f′′ f f′′
П1
 |  | ||
f′ f′
П2
Рис.8 Рис.9
Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3.
p// П3 p'//p''//ox и p''' по построению
Проецирующие прямые – перпендикулярные одной из плоскостей проекций (соответственно параллельные двум другим). Проецирующая прямая отображается точкой на плоскость, которой она перпендикулярна, которая называется следом этой прямой. На других плоскостях проекций отображаются прямыми перпендикулярными оси проекций. Смотри рис.10 и рис.11. a′′
П1
а′′ а b′′
 |
b′′ x
b a′ b′ a′
b′ П2
Рис. 11 Рис. 10
3. Следы прямой.
Следом прямой в общем случае называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций: горизонтальный след M – пересечение с П1, фронтальный след N – пересечение с П2 и профильный след – пересечение с плоскостью П3 (рис. 12).
Построения: чтобы построить горизонтальный след прямой M′ = M надо фронтальную проекцию прямой a′′ продолжить до пересечения с осью ох (эта точка будет фронтальной проекцией M′′ горизонтального следа) и восставить перпендикуляр до продолжения с горизонтальной проекцией прямой a′. Для построения фронтального следа N надо сначала определить его горизонтальную проекцию на оси ох N′ (горизонтальную(горизонтальную
ЛЕКЦИЯ 2 - 4
проекцию прямой продолжить до пересечения с осью), а затем по линии связи найти фронтальную проекцию этой точки N′′ (рис.13). N =N′′
N= N a′′
 |
П1 a′′ a M′′ N′
a′
а′ П2
M =M′
Рис. 12 Рис.13
4. Взаимное положение линий, точки и линии.
1. Прямые в пространстве могут пересекаться, т.е. иметь общую точку, проекции которой будут лежать на линии связи одноименных проекций прямой, точка К на рис.14.
2.Прямые могут скрещиваться в пространстве, т. е. не иметь общих точек (рис.15).
3.Прямые в пространстве могут быть параллельны – пересекаться в несобственной точке; одноименные проекции параллельных прямых вследствие параллельности проектирующих плоскостей параллельны (рис.16).
a′′ K′′ b′′ a′′ b′′ n′′ m′′
K′′=L′′
 |
b′ a′ b′ K′ a ′ n′ m′
L′
K′
Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16
Для определения на чертеже видимости прямых по отношению к плоскостям проекций используется метод конкурирующих точек. На рисунке 15 точки Kи L - фронтально - конкурирующие, конкурируют по видимости по отношению к фронтальной плоскости проекций: видима будет точка L, т.к. она расположена ближе к глазу наблюдателя, имеет большую глубину, значит, видима линия, на которой она лежит – a. И на горизонтальной плоскости проекций видима прямая b, т.к. точка, лежащая на ней будет видима на П1 и закрывать точку, принадлежащую прямой a. Эти точки называются – горизонтально – конкурирующими точками.
ЛЕКЦИЯ 2 – 5
5. Определение длины отрезка прямой.
Имеем две точки А и В. Из чертежа на рис. 17 видно, что расстояние между ними равно гипотенузе прямоугольного треугольника А′АВ. Одним катетом этого треугольника является сама проекция отрезка А′В′ на П1, а другим – превышение концов отрезка по отношению к этой плоскости проекций, т.е. насколько точка А имеет большую координату z по сравнению с точкой В. Для определения расстояния между точками А и В на эпюре строим проекции отрезка AB(А′В′,A′′B′′) и прямоугольный треугольник. На одной плоскости проекций определяем разность концов отрезка по отношению к другой плоскости проекций, например, разность координат z на рис.18. По теореме о проецировании прямого угла можно построить прямой угол на проекции отрезка АВ. Перпендикулярно А′В′ восставляем перпендикуляр, на котором откладываем найденную разность. Отрезок AоB′ будет являться гипотенузой и равен истинному расстоянию между точками А и В. Этот метод носит название способ прямоугольного треугольника.
ПРАВИЛО: Действительная величина отрезка прямой равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на плоскость проекций, а другим – разность расстояния его концов до этой плоскости. Угол между гипотенузой и проекцией α будет равен действительной величине угла наклона прямой к этой плоскости проекций.
z А′′
А′′ В′′ ZА-В
П1 А
В′′ ZА-В А′ ZА-В
В=В′ А′ В′
П2 α Ао
Рис. 17 Рис. 18
6. Деление отрезка прямой в заданном отношении.
Для построения проекции точки, делящей отрезок в заданном отношении, и решения обратной задачи используются свойства:
1.Свойство проецирования: если точка лежит на прямой, то проекция точки лежит на соответствующей проекции прямой;
Лекция 2 -6
2. Свойство подобных треугольников.
Чтобы разделить отрезок АВ точкой С в заданном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из его проекций, используя вспомогательный отрезок, например АD. Отрезок А′D проводится под произвольным углом к прямой А′В′ и, считая его действительной величиной некоторого отрезка, делится точкой Со в заданном отношении. Затем, соединяя точки D и В′, достраиваем до треугольника А′В′D и по теореме Фалеса находим точку С′, потом по линии связи точку С″ (рис. 19).
В′′
С′′
А′′
 |
С′ В′
А′
Со D
Рис. 19
7. Задание на чертеже окружности. Ортогональные проекции винтовой линии.
Параллельной проекцией окружности является эллипс. Для иллюстрации можно рассмотреть цилиндр, пересеченный плоскостью под углом к его оси. В сечении получаем эллипс. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то ортогональной проекцией окружности будет тоже эллипс. Построения эллипса на плоскости по его осям будет рассмотрено далее на лекциях и практике.
Ортогональные проекции винтовой линии рассмотреть самостоятельно по учебнику. На листе формата А4 построить проекции винтовой линии и найти натуральную длину построенной винтовой линии (Фролов С.А. «Начертательная геометрия» §20 стр.44)