Арифметические основы работы компьютера
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Любой компьютер предназначен для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функций компьютер должен обладать некоторым способом представления этих данных. Представление данных заключается в преобразовании их в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо компьютером. Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление.
Во внешнем представлении (для пользователей) все данные хранятся в виде файлов. Простейшими способами внешнего представления данных являются:
· вещественные и целые числа (числовые данные);
· последовательность символов (текст);
· изображение (графика, рисунки, схемы, фотографии).
Внутреннее преставление данных определяется физическими принципами, по которым происходит обмен сигналами между аппаратными средствами компьютера, принципами организации памяти, логикой работы компьютера. Любые данные для обработки компьютером представляются последовательностями двух целых чисел – единицы и нуля. Такая форма представления получила названия двоичной. Важным понятием при представлении данных в компьютере является система счисления.
СИСТЕМЫСЧИСЛЕНИЯ
Система счисления – это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение.
Различают позиционные системы счисления и непозиционные.
Непозиционная системы счисления –система,в которой символы,обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.
Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Это система самая неэффективная, так как форма записи очень громоздка.
К непозиционной системе относится и римская, символы алфавита которой представлены ниже.
| Римские цифры | I | V | X | L | C | D | M |
| Значение |
Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) значение цифры X в любой позиции равно десяти.
Запись чисел в данной системе счисления осуществляется по правилам:
1) если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IX: 1<10, следовательно, 10 – 1 = 9; XС: 10<100, следовательно,100 – 10 = 90);
2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VII: 5+1+1=7; XXXV: 10+10+10+5=35).
Так, число 1984 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXXIV (M – 1000, CM – 900, LXXX – 80, IV – 4).
В римской системе нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифр.
В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления –это система счисления,в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа.
Алфави т позиционной системы счисления –упорядоченный набор символов (цифр) {а0, a1, …, an}, используемый для представления чисел в данной системе счисления.
Основание позиционной системы счисления –количество символов(цифр)алфавита, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления. Ее алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Основание q = 10.
Например, в десятичной системе счисления число 333 записывается с помощью одной цифры 3, но значение каждой цифры определяется ее местоположением в числе: первая тройка – число сотен в числе, вторая тройка – число десятков, последняя – число единиц.
За основание системы счисления можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д.
Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (q – 1) включительно. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием q > 10, используются буквенные обозначения цифр.
Для примера в табл. 1 приведены алфавиты некоторых систем счисления.
Таблица 1
| Система счисления | Основание | Алфавит системы счисления |
| Двоичная | 0, 1 | |
| Троичная | 0, 1, 3 | |
| Четверичная | 0, 1, 2, 3 | |
| Пятеричная | 0, 1, 2, 3, 4 | |
| Восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | |
| Десятичная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | |
| Двенадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B | |
| Шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
В вычислительной технике наибольшее распространение получили двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Приведем таблицу для перевода первых 16 чисел в различные системы счисления (табл. 2)
| Таблица 2 | ||||
| Десятичные числа q = 10 | Двоичные числа q = 2 | Восьмеричные числа q = 8 | Шестнадцатеричные числа q = 16 | |
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D | ||||
| E | ||||
| F |