Тема занятия: Положение точки в пространстве. Плоскости проекций.
Плоскость проекций – двухмерна, а пространство – трехмерно. Невозможно на одной плоскости точно изобразить вид какой-либо объемной детали со всех сторон – спереди, сверху, сбоку. Поэтому эти виды изображают в трех ракурсах, которые называют проекциями.
Самый простой геометрический объект - это точка. Точку никак нельзя измерить – у нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни площади, ни объема. И все же – это полноценный геометрический объект – у нее есть точно определенное положение в пространстве, которое определяется координатами.
На рисунке 1 представлена часть пространства, ограниченная тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, которые имеют названия:
· Горизонтальная плоскость проекций, обозначается буквой Н. Можно представить, что это плоскость письменного стола.
· Фронтальная плоскость проекций – V. Эта плоскость расположена вертикально перед наблюдателем (плоскость классной доски).
· Профильная плоскость проекций W, вертикальная плоскость справа от наблюдателя.
Рисунок 1. Точка А в пространственной системе координат.
Пересекаясь между собой, плоскости проекций образуют прямые, которые называют координатными осями и обозначают буквами X,Y,Z. Они пересекаются в точке О, начале координат. Назовем этот трехгранный угол условно Моделью пространства.
Точка А занимает определенное место в пространстве (рис. 1), она находится на расстоянии 15 мм от плоскости W, на расстоянии 30 мм от плоскости V, и на расстоянии 42 мм от плоскости Н. Эти расстояния измеряются вдоль осей и являются координатами точки А:
XA = 15;
YA = 30;
ZA = 42.
Эту запись можно сделать короче: А(15,30,42). Как видим, в скобках указывают сначала координату Х, затем Y, затем Z. Проекции точки А на плоскости H, V и W обозначают соответственно А₁, А₂, А₃. Нужно всегда помнить, что точка – одна, а проекции у нее – три.
Чтобы показать положение точки на чертеже, трехмерную модель пространства как бы «разрезают» по оси У и разворачивают на плоскость. (Поэтому на проекционном чертеже получается «две» оси У).
Проекционный чертеж точки А с координатами 15, 30, 42 показан на рисунке 2 и выглядит гораздо проще, чем рисунок, изображающий точку А в трехмерной модели пространства. На горизонтальной плоскости проекций отражаются координаты Х и У,, на фронтально плоскости – координаты Х и Z, на профильной плоскости отражены координаты Z и У.
Рисунок 2. Проекционный чертеж точки А (15, 30, 42)
Точка А находится в той области пространства, где все три координаты положительны. Однако, как известно, пространство бесконечно, и плоскости проекций также бесконечны. На рисунке 3 показано расположение в пространстве и проекционный чертеж точки В, которая лежит ниже горизонтальной плоскости проекций, а значит, координата ZВ имеет отрицательное значение.
Рисунок 3. Положение в пространстве и чертеж точки В(15, 30, -17).
Координаты точки В следующие:
XВ = 15;
YВ = 30;
ZВ = -17.
Упражнение 1.
На рисунке 4 показан чертеж (эпюр) точек С,D, E, F. Напишите, каким точкам соответствуют указанные координаты:
____(30, 10, -50);
____(20, -65, -40);
____(70, 45, 20);
____(-35, 30, 25).
Самостоятельно постройте на чертеже следующие точки: G(15, 40, 80); K(45, -20, 0); L(0, 40, -10).
Рисунок 4. Задание к упражнению 1.
Комплексный чертеж
Комплексным чертежом называется изображение предмета двумя или несколькими его ортогональными проекциями с сохранением проекционной связи.
Условие обратимости выполняется ортогональным проецированием объекта на две (П1, П2) или три (П1, П2, П3) взаимно перпендикулярные плоскости проекций (см. рисунок 5).
Плоскость П1 называют горизонтальной плоскостью проекций, П2 — фронтальной, П3 — профильной.
Прямые пересечения плоскостей проекций называют осями проекций X,Y,Z или координатными осями; цифрой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций (начало координат).
В 3-х мерном пространстве положение точки определяется с помощью прямоугольных координат X,Y,Z: X – абсцисса, Y - ордината, Z – аппликата.
Рисунок 5
Рассмотрим образование комплексного чертежа на примере простейшего элемента пространства — точки.
Для построения проекций точки А проведем через нее три проецирующие прямые, перпендикулярные соответствующим плоскостям проекций. Точки А1, А2, А3 пересечения проецирующих прямых с плоскостями проекций будут искомыми проекциями точки А.
Для получения плоского (комплексного) чертежа горизонтальная плоскость проекций П1 совмещается с фронтальной плоскостью проекций П2путем вращения вокруг оси Х. Профильная плоскость П3 совмещается с фронтальной плоскостью проекций П2 путем вращения вокруг оси Z. На рисунке показано направление вращения.
Комплексный чертеж точки представлен на рисунке 6.
Прямые линии, соединяющие проекции две точки и перпендикулярные осям проекций (X,Y,Z) называют линиями проекционной связи.
Рисунок 6
Комплексный чертеж обладает следующими свойствами:
— две проекции точки определяют ее положение в пространстве;
— две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций;
— по двум проекциям точки можно построить третью;
— удаление точки от плоскости П1 определяет координата Z, от плоскости П2 — Y, от плоскости П3 — X.
Комплексный чертеж предмета
Изучив, как строят проекции точек, отрезков прямых и плоских фигур, т.е. элементов, которые ограничивают различные предметы (изделия или их составные части), можно перейти к рассмотрению способов получения прямоугольных изображений самих предметов.
На рис. 7, а представлен прямой трехгранный угол. Перед его плоскостями помещен изображаемый предмет – упор. Он расположен так, чтобы возможно большее число его граней было параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Это значительно облегчает процесс проецирования.
Рис. 7. Образование комплексного чертежа
Чтобы получить прямоугольные проекции изображаемого предмета, необходимо провести проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций.
Спроецируем упор на фронтальную плоскость проекций π2. Точки пересечения проецирующих лучей с этой плоскостью дадут проекции вершин упора. Соединив соответствующим образом эти точки, получим фронтальную проекцию, или вид спереди. Вид спереди называют также главным видом.
Построим проекцию упора на горизонтальной плоскости проекции π1 – вид сверху. Для этого опустим на горизонтальную плоскость перпендикуляры, проходящие через вершины упора, и полученные точки их пересечения с плоскостью соединим отрезками прямых.
Проведя проецирующие лучи на профильную плоскость проекций π3 и выполнив построения, аналогичные предыдущим, получим профильную проекцию изображаемого предмета – вид слева.
Сравнивая наглядное изображение упора с его проекциями (рис. 7, а) и вспоминая изученное, можно установить следующее.
Во-первых, проекции упора на каждой из плоскостей проекций π2, π1, π3 представляют собой изображения не только одной стороны детали, но и всего предмета, всех его вершин, ребер и граней, если на горизонтальной и профильной проекциях штриховыми линиями показать невидимый сверху и слева контур детали. На фронтальной плоскости проекций видна лишь передняя грань упора. Это происходит потому, что боковые грани, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде отрезков прямых. Грани, параллельные соответствующим плоскостям проекций, изображаются без искажения размеров.
Во-вторых, ребра, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде точек (например, ребро АВ на горизонтальной плоскости проекций), а ребра, параллельные плоскости проекций, изобразились на ней в натуральную величину (например, ребро АВ на фронтальной и профильной плоскостях проекций).
В-третьих, наклонная грань упора ни на одной плоскости проекций не изобразилась в натуральную величину, хотя размер одной стороны этой грани можно измерить по проекции ее ребра, параллельного фронтальной плоскости проекций, а размер другой – по проекции ребра, параллельного горизонтальной и профильной плоскостям проекций, на одной из них.
Развернем плоскости проекций так, как это было показано на рис. 4.4, чтобы совместить их в плоскости чертежа (рис. 7, б). Фронтальная плоскость π2 при этом остается неподвижной, горизонтальная π1 поворачивается вокруг оси х вниз на 90°, профильная π3 поворачивается вокруг оси z на 90° вправо. Тогда виды расположатся так: вид сверху – под главным видом, а вид слева – справа от главного вида и на уровне его.
Фронтальные и горизонтальные проекции одноименных точек находятся при этом на одних перпендикулярах к оси х (например, фронтальная а' и горизонтальная а проекции точки А [1], а их фронтальные и профильные проекции располагаются на одних перпендикулярах к оси z (например, фронтальная а' и профильная а" проекции точки А). Эти перпендикуляры называют линиями связи. Таким образом, все три проекции упора оказываются связанными между собой. Положение любых двух проекций определяет положение третьей.
На чертежах не проводят рамки, ограничивающие плоскости проекций, и линии связи/ Удалив их, мы получим чертеж, представленный на рис. 7, в.
Иногда изображения предмета на совмещенных плоскостях проекций называют комплексным чертежом.
Так строят чертежи в системе прямоугольных проекций. Для того чтобы прочитать чертеж, нужно представить себе, в результате чего получилось на нем то или иное изображение, подумать, какое тело могло дать рассматриваемые проекции. При этом нельзя рассматривать проекции изолированно одну от другой. Необходимо мысленно объединить в единое целое представления о всех проекциях, данных на чертеже.