Правило сложения дисперсий.

Предположим, что вся статистическая совокупность разделена на k групп. Тогда каждую группу можно рассматривать как отдельную статистическую совокупность со своим объемом m_j, средней арифметической - групповой средней и дисперсией относительно этой средней , так называемой групповой дисперсией, где j= 1, 2, …, k.

Групповой дисперсией называется дисперсия вариантов, принадлежащих одной группе, относительно групповой средней.

Найдя дисперсии всех групп, можно найти среднюю арифметическую этих дисперсий с учетом объемов групп. В этом случае получаем внутригрупповую дисперсию.

Внутригрупповой дисперсией называется среднее арифметическое групповых дисперсий с учетом объемов групп, т.е.

Рассмотрим теперь групповые средние и общую среднюю всего вариационного ряда . Определим средний квадрат разброса групповых средних вокруг общей средней.

Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней, т.е.

.

Правило сложения дисперсий: Если статистическая совокупность состоит из нескольких групп, то дисперсия всей совокупности равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е. = + .

Рассмотренное правило имеет и теоретическое и практическое значение. На практике оно чаще всего применяется в тех случаях, когда статистические данные получаются не отдельными значениями, а некоторыми группами. Тогда для нахождения общей дисперсии можно не объединять все группы в одну совокупность. Иногда, правда, возникает и другая задача.

Если рассматриваемая совокупность достаточно большая по объему, то ее целесообразно разбить на группы, что значительно облегчает расчеты.

Как уже было отмечено, размерность дисперсии равна квадрату размерности вариантов, а размерность среднеквадратического отклонения равна размерности вариантов.

Таким образом, величина и той и другой мер разброса зависит от размерности рассматриваемого признака. Если необходимо избавиться от этой зависимости, то используют безразмерную величину, называемую коэффициентом вариации.

Выборочным коэффициентом вариации называется безразмерная характеристика вариации, равная процентному отношению среднеквадратического отклонения к средней выборочной (не равной нулю), т.е.

.

Коэффициент вариации часто применяется для сравнения разброса значений двух вариационных рядов.

Разброс значений вокруг средней выборочной будет у того ряда больше, у которого коэффициент вариации будет иметь большее значение. При этом, так как этот коэффициент не имеет размерности, то можно сравнивать вариационные ряды, для которых варианты имеют различную размерность.

Нахождение числовых характеристик вариационных рядов может привести к очень громоздким расчетам, если сами варианты имею достаточно большие значения. Существует метод, позволяющий эти расчеты значительно упростить.