Задача 1. (Тренировочная работа 19) 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r?
Решение. Пусть S сумма кредита равна. Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:
; ; … . - остаток по кредиту на конец месяца
Найдем выплаты:
1 месяц: + S=
2 месяц: +
……………………………………………
9 месяц:
Найдем сумму всех выплат. По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, значит: → 900 + 45r = 1035 → r = 3. Ответ: 3%
Задача 2. (Тренировочная работа 49). 31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а?
Решение: S = 1000000, а - процентная ставка по кредиту.
В конце 1-го года долг составит:
∙ 1000000 - 540000 = 460000 + 10000а
В конце 2-го года:
∙(460000 + 10000а) - 649600 = 100а2 + 14600а - 189600
По условию, кредит будет погашен за два года, составляем уравнение:
100а2 + 14600а - 189600 = 0, сокращая на 100 получим
а2 + 146а - 1896 = 0. Решаем квадратное уравнение, находим дискриминант
Д = 1462 + 4∙1896 = 21316 + 7584 = 28900= 1702
а1 = , а2 = .
Ответ: 12%
Задача 3. (Тренировочная работа 26). 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение: S - сумма кредита r =5%
выплата за 1-й месяц: +
2-й: +
3-й: ; 4-й: ; 5-й: .
Таким образом, за все 5 месяцев сумма выплат составит:
Из выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась на 1,15 раз, т.е. на 115%.
Ответ: 115%
Задача 4. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018). 15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млн. рублей. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число.
-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
Долг (в млн рублей) | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2млн рублей.
Решение: Составим ежемесячные выплаты
01.02. - (1 + )∙1 - 0,6
01.03. - (1 + )∙0,6 - 0,4
01.04 - (1 + )∙0,4 - 0,3
01.05 - (1 + )∙0,3 - 0,2
01.06 - (1 + )∙0,2 - 0,1
01.07 - (1 + )∙0,1 - 0.
Найдем общую сумму выплат:
(1 + )∙(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) - (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) =
= (1 + )∙2,6 - 1,6 = + 1
По условию: + 1 < 1,2
< 0,2, r < r < , т.е. ежемесячно долг возрастал на 7%
Ответ: 7%
Задача 5. (досрочное ЕГЭ, 16.04.16) В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2017,2018,2019 годов долг остается равным 4,2 млн рубле
- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты равны 6,1 млн рублей.
Решение. Сумма выплат за первые три года равна:
4,2∙0,01∙r∙3 =0,126∙r
Сумма выплат за последние два года равна 2∙Х.
Так как общие выплаты равны 6,1 млн рублей, то составляем уравнение:
0,126∙r + 2Х= 6,1 (1).
В январе 2020 года долг составит: 4,2 +4,2∙0,01r= 4,2 (1+0,01r). После выплаты суммы Х долг станет равным:
4,2 (1+0,01r) – Х= 4,2t –Х, где t=1+ 0,01r.
В январе 2021 года долг составит (4,2t –Х)∙t. После выплаты суммы Х долг станет равным нулю:
(4,2t –Х)∙t – Х= 0 (2).
Из уравнения (2) выразим Х:
Х= и подставим в равенство (1):
12,6∙(t -1) + 2 = 6,1;
t =1, 1. Значит, r = 10%
Ответ: 10%
Задача 6. (Вариант 6. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2018) Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж Льва.
а) Ежемесячные выплаты подбираются, таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.
б) Известно, что наибольший платеж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.
Решение: S - сумма кредита, р - процентная ставка.
Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.
Выплата в 1-й месяц: + ∙S и так как он будет наибольшим составим уравнение: ( + ∙S)∙25 = S → + p = 1, p = 1,5
Ответ: 1,5%