Баскетбольный бросок через призму математики
Работу выполнила: Поляковой Елены.
Руководители проекта: Лукина Ирина Викторовна,
Козловская Мария Сергеевна
Содержание:
Введение стр. 3
1. Теоретический анализ и обобщение литературных источников.Математические и физические основы теории баскетбольного
броска стр. 4
2. Проведение эксперимента и его статистическое обоснование стр. 14
3. Выводы стр. 25
4. Заключение стр. 25
Информационные ресурсы стр. 27
Введение
Занимаясь баскетболом, одним из самых ярких, скоростных, результативных видов спорта, я каждый раз хотела «улучшить» свой бросок, то есть увеличить точность попадания, ведь как часто ни корректировались правила баскетбола за его историю, всегда главным элементом игры оставался бросок мяча в корзину.
Так американец Тед Мартин забил подряд 2036 штрафных бросков, а его соотечественник Фред Ньюмен – «всего» 88, но с закрытыми глазами! Практические достижения в точности баскетбольных бросков впечатляют, однако не мешает и «алгеброй гармонию проверить». Ведь в настоящее время уже вряд ли кто будет спорить о полезности научных исследований для роста спортивных достижений, ставшей фактом. Подтвердила это и последняя Зимняя олимпиада, которую наши спортсмены откровенно «провалили».
В баскетболе движение мяча подчиняется определенным математическим и физическим законам. Гипотеза: если интегрировать приложения вычислительной математики с теоретическими основами техники баскетбольного броска, то можно определить и оценить оптимальные условия эффективности баскетбольного броска.
Цель: Исследовать баскетбольный бросок одной рукой от плеча с точки зрения математических и физических представлений, выявить условия эффективности баскетбольного броска.
Задачи: 1. Изучить основы техники баскетбольного броска одной рукой от плеча.
2. Изучить элементы вычислительной математики, описывающие движение баскетбольного мяча.
3. Изучить кинематику баскетбольного броска.
4. Провести и описать эксперимент, подтверждающий или опровергающий выдвинутую гипотезу.
5. Продемонстрировать вычислительный аппарат математики как универсальный инструмент описания реальных явлений и процессов.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
1.Теоретический анализ и обобщение литературных источников.
2. Тестирование.
3. Эксперимент.
4. Методы математической статистики.
Теоретический анализ и обобщение литературных источников.
Математические и физические основы теории баскетбольного
броска.
Попытаемся выяснить, под каким углом q к горизонту желательно выпустить мяч из рук, чтобы обеспечить наибольшую точность броска.
На рисунке 1 показаны основные фазы перемещения мяча при броске одной рукой от плеча с места.
Рис.1
Известно, что высота кольца над полом Н = 3.05 м (интересно, что это та самая высота, на которой находились верхние обода корзин из-под персиков, прибитых родоначальником баскетбола Джеймсом Нейсмитом – преподавателем физического воспитания, к балконам гимнастического зала колледжа в Спрингфилде, чтобы его питомцы не скучали и в плохую погоду могли заменить футбол бросанием мяча в корзину); внутренний диаметр кольца D = 0.45 м, диаметр баскетбольного мяча примерно в 2 раза меньше, т.е. D/2 = 0.225 м.
Пусть мяч входит в кольцо под углом j к горизонту (рис. 2)
(5.Винокур.Физико-математический журнал Квант)
Рис.2
На рисунке:
А – центр кольца,
О - центр мяча,
D – диаметр кольца,
ОМ – радиус мяча (в 2 раза меньше радиуса кольца):
ÐМКО = Ðj как соответственные.
Причем будем считать, что траектория центра мяча пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через центр кольца.
Достаточно подробно рассмотреть рисунок 2, чтобы увидеть, что условие, при котором мяч пройдет через кольцо, не задев его, можно записать так:
(1)
где ∆L – смещение центра мяча О от центра кольца А.
Это условие имеет смысл при j > 30°.
Если j < 30°, то
И значит, мяч обязательно заденет кольцо и, как при этом обычно случается (особенно, если скорость мяча в момент удара о кольцо достаточно велика), отразится, не поразив корзины. Увеличивая угол j, мы повышаем шансы попасть в корзину, поскольку при этом растет величина l. Так, если угол j = 40°, то l ≈ 0.05 м, а при j = 60° l ≈ 0.095 м, т.е. почти вдвое больше. Предельно возможное значение l ≈ 0.112 м (при j = 90°). (5.Винокур.Физико-математический журнал Квант)
Очевидно, что угол j тем больше, чем круче угол θ, под которым игрок бросает мяч в кольцо (cм. рис.1). Однако, бросая мяч под очень крутыми углами (θ ≳ 70°), довольно трудно попасть в корзину, по крайней мере, с дальних дистанций. Трудно не только попасть, но иногда и просто добросить мяч до кольца – это требует больших усилий.(Если баскетболисты и бросают издали под крутыми углами, то чаще всего “ не от хорошей жизни”: надо перекинуть мяч через руки защитника, плотно опекающего “своего” игрока.) (5.Винокур. Физико-математический журнал Квант)
Чтобы понять причину происходящего, проведем теоретические исследования.
Пусть в момент, когда баскетболист выпускает мяч из рук, центр мяча расположен в точке В (см. рис.1) и через время t достигает центра кольца – точки А. Начальная скорость броска V, дальность броска (проекция отрезка ВА на горизонтальную плоскость) равна L. Рассмотрим «чистый» бросок – без отражения мяча от щита. Пренебрегая сопротивлением воздуха и защитника, опишем движение мяча как движение материальной точки, брошенной под углом θ к горизонту:
(2)
Угол j, под которым мяч влетает в кольцо, определяется из условия:
Vsinθ – gt < 0 при выбранной системе координат (как показано на рисунке 3), следовательно ÷Vsinθ – gt÷ = - Vsinθ + gt, следовательно:
Рис.3
j = arctg (tgθ – 2tgα) (3)
Исследуем полученные равенства. Из равенства (2) видно, что при условии 2θ – α = 90°, sin(2θ – α) = 1, а значит заданная дальность броска L достигается при минимально возможной скорости и, следовательно, при минимальных затратах усилий на выполнение броска. Так что оптимальный угол бросания мяча (угол, обеспечивающий наибольшую точность попадания) –
(4)
В частном случае, при α = 0 (точки В и А расположены на одном уровне) θопт = 45° и, как видно из формулы (3), j = θ. Для игрока со средним (не «баскетбольным») ростом мяч в завершающей фазе броска находится от пола на высоте H' ≈ 2 м. Наиболее «выгоден» в баскетболе точный бросок из-за шестиметровой линии, за который даются три очка (за попадание с более близкого расстояния засчитываются лишь два очка, а при штрафных бросках – одно очко). (5.Винокур.Физико-математический журнал Квант)
Полагая h = H – H׳ = 1.05 м, L = 6 м, получаем,α = arctg (1.05/6) ≈ 10°, т.е. θопт ≈ 50°. Из формулы (2) находим, что начальная скорость мяча, при θ = θопт, в этом случае составляет 8.37 м/с. Это невысокая скорость, что хорошо. Так как, чем больше начальная скорость мяча, тем выше его скорость на входе в кольцо, а это увеличивает вероятность отскока мяча при касании кольца.(4.Вальтин А.И. Методика совершенствования в технике бросков мяча в игре баскетбол)
В пользу угла θопт свидетельствуют и более важные соображения, связанные с учетом влияния на дальность броска ошибки в угле бросания, а именно: ошибка в угле бросания при θ = θопт очень мало влияет на дальность броска. Докажем это. Пусть при начальной скорости V и угле бросания θ центр мяча пройдет в корзину через центр кольца. Обеспечить абсолютную точность этих величин не под силу даже выдающемуся мастеру, поэтому начальная скорость мяча на деле окажется равной V׳ = V + ∆V (∆V<<V), а угол бросания (здесь будем выражать углы не в градусной, а в радианной мере) – θ׳ = θ + ∆θ
(∆θ << 1). В результате изменится дальность броска – она станет равной
L׳ = L + ∆L. Чтобы бросок был точным, необходимо выполнение условия (1); при этом, поскольку величина l достаточно мала, значение ÷∆L÷ также должно быть малым. (1.Андреев В.И. Факторы определяющие эффективность техники дистанционного броска в баскетболе)
Из формулы (2) видно, что ошибка в начальной скорости броска может существенно сказаться на его результативности – ведь L~ V2. (Отработка броска и связана в первую очередь с приобретением навыков, позволяющих достаточно точно задать начальную скорость мяча.) (5.Винокур.Физико-математический журнал Квант)
Что же касается ошибки ∆θ в угле бросания, то ее влияние на величину ∆L оценим, предполагая для простоты, что ∆V = 0 (т.е. начальная скорость броска является постоянной величиной). Для оценки используем формулу (2), пренебрегая возможным изменением угла α. Считая, что ошибка в угле бросания сравнительно мала:
)= 
(*) Преобразуя разность синусов в числителе полученного выражения, имеем:
Полагая, что величина Δ θ выражена в радианах, и используя приближенные равенства sin x ≈ x и cos x ≈ 1 при x 
1, получаем:
Получаем в итоге выражение:
(5)
Из равенства (5) следует, что изменение дальности броска, обусловленное ошибкой в угле бросания, прямо пропорционально дальности броска (не зря броски из-за шестиметровой линии оцениваются дороже, чем броски с более близкого расстояния). Однако важно в данном случае другое. Если пренебречь членом, включающим очень малую величину (∆θ2) (т.е. считать, что sin(2θ–α)·(∆θ)2=0), то, при, θ=θопт (θ = θопт = 45° + α/2 Þ 2θ – α = 90° Þ соs(2θ – α) = соs90° = 0), имеем парадоксальный результат: ∆L = 0, т.е. дальность броска не зависит от ошибки в угле бросания. Если же в равенстве (5) не пренебрегать ничем, то зависимость ∆L от ошибки ∆θ существует, хотя и достаточно слабая:
cоs (2θ – α) = соs 90° = 0
sin (2θ – α) = sin 90° = 1
(6)
Итак, результативность броска во многом зависит от способности игрока «выдерживать нужное значение θ. Каково же допустимое значение ∆θ? Оценим его для частного случая: α = 0, L = 6 м. При этом θопт = 45° (см. формулу (4)), и, как следует из (1), l ≈ 0.066 м. Используя выражение (6), для ∆θ получаем (переводя радианную меру в градусную): ÷∆θ÷ ≲ 4.2°. Это очень незначительная величина, но и она может быть уменьшена в результате специальных упорных тренировок. (4. Вальтин А.И. Методика совершенствования в технике бросков мяча в игре баскетбол)
Получается, что бросок под углом θ = θопт является оптимальным так как:
1. Требует минимальной начальной скорости броска.
2. Ошибка в угле бросания при θ = θопт очень мало влияет на дальность броска.
Последнее, что нам осталось выяснить – это, как связан угол вхождения мяча в кольцо j и угол α. Для этого вернемся к нашим формулам. Посмотрим, под каким углом j входит в кольцо мяч, брошенный под углом
θ = θопт = 45° + α/2.
Из формулы (3) с помощью тригонометрических преобразований находим:
Таким образом:
Это означает, что при α > 30° бросок под углом θопт вообще не будет точным, поскольку, при j < 30° мяч не может свободно пройти сквозь кольцо. Вообще говоря, и при α ≈ 20° (т.е. j ≈ 35°) вероятность попадания еще мала из-за того, что в этом случае относительно невелико значение l (см. формулу (1)). Ситуация, когда угол α достаточно крут, возникает в случае броска с близкого расстояния (до 1 – 2 м), когда высота кольца над центром мяча в начальный момент его свободного полета практически не меньше, а иногда и больше дальности броска. Однако угол α можно уменьшить, бросая мяч в прыжке, т.е. приближая центр мяча в начальный момент к уровню кольца. Обычно считается, что бросок в прыжке нужен для того, чтобы переиграть защитника, однако при броске с близкого расстояния, как следует из полученных результатов, прыжок способствует и увеличению точности броска.(1.Андреев В.И. Факторы определяющие эффективность техники дистанционного броска в баскетболе).
Для увеличения точности броска с близкой дистанции бросок необходимо совершать в прыжке.
3. Проведение эксперимента и его статистического обоснования
Чтобы подтвердить эффективность теоретических исследований баскетбольного броска, а именно нахождение оптимального угла бросания мяча (опт), проведен эксперимент.
В начале эксперимента, каждый игрок из группы, которая стояла из 10 человек, должен был выполнить 20 бросков из-за 6-ти метровой линии, как можно результативнее. Если мяч был забит с отскоком от щита, то это попадание не учитывалось, так как мы рассматриваем чистый бросок – без отражения мяча от щита. Результаты были занесены в таблицу 1.
Таблица 1
| № п/п | Ученики (n=10) | Количество результативных бросков в начале эксперимента |
| 1. | Ведерников Андрей | |
| 2. | Головачев Андрей | |
| 3. | Егоров Александр | |
| 4. | Марач Станислав | |
| 5. | Жигалко Игорь | |
| 6. | Бучельникова Ксения | |
| 7. | Дружинина Анна | |
| 8. | Петрова Елена | |
| 9. | Нещерет Алёна | |
| 10. | Евстафеева Елена | |
Для каждого учащегося был проведен расчет оптимального угла, под которым игрок бросает мяч в кольцо (таблица 2).
Для этого последовательно находились:
– разность между высотой кольца и высотой, на которой находится мяч в завершающей фазе броска (h = H – H׳):
– угол α = arctg (h/L);
– оптимальный угол, под которым игрок бросает мяч в кольцо
Таблица 2
| № п/п | Ученики (n=10) | Высота, на которой мяч находится от пола в завершающей фазе броска (м) | Угол опт, обеспечивающий наибольшую точность броска |
| 1. | Ведерников Андрей | 2,5 | ≈ 480 |
| 2. | Головачев Андрей | 2,35 | ≈490 |
| 3. | Егоров Александр | 2,35 | ≈490 |
| 4. | Марач Станислав | 2,4 | ≈480 |
| 5. | Жигалко Игорь | 2,4 | ≈480 |
| 6. | Бучельникова Ксения | 2,18 | ≈510 |
| 7. | Дружинина Анна | 2,02 | ≈520 |
| 8. | Петрова Елена | 2,1 | ≈500 |
| 9. | Нещерет Алёна | 2,09 | ≈530 |
| 10. | Евстафеева Елена | 2,15 | ≈510 |
После того, как был определен угол θопт, каждый ученик отрабатывал бросок одной рукой сверху с того же самого расстояния, но после тренировки бросков с помощью нами придуманного тренажера, для которого сначала надо было определить положение руки (см. рис. 4):
рис. 4
Измерив, угол с помощью транспортира, мы фиксируем его специальным устройством: (см. рис. 5)
Рис.5
Тренажер, состоящий из жгута и двух «липучек», закрепляется на «рабочей» руке учащегося и позволяет фиксировать заданный угол броска и, таким образом, помогает игроку «выдерживать» нужное значение опт. Устройство – тренажер сконструирован для проведения данного эксперимента и является уникальной разработкой автора данного проекта (под руководством научных руководителей).
Отработав бросок из-за шестиметровой линий, с помощью тренажера, на 17 занятии учащиеся снова сделали по 20 бросков, но уже без него. Сравнительные результаты приведены в таблице 3
Таблица 3
| № п/п | Ученики (n=10) | Количество результативных бросков (20 бросков) | |
| В начале эксперимента | В конце эксперимента | ||
| 1. | Ведерников Андрей | ||
| 2. | Головачев Андрей | ||
| 3. | Егоров Александр | ||
| 4. | Марач Станислав | ||
| 5. | Жигалко Игорь | ||
| 6. | Бучельникова Ксения | ||
| 7. | Дружинина Анна | ||
| 8. | Петрова Елена | ||
| 9. | Нещерет Алёна | ||
| 10. | Евстафеева Елена |
Из таблицы 3 видно, что количество попаданий после экспериментального воздействия увеличилось (т.е. увеличился процент попадания). В ывод об эффективности нашего эксперимента сделаем на основе обработки результатов исследования с помощью t-критерия Стьюдента. Данный критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива в компании Гинесс, которая являлась передовым предприятием пищевой промышленности в Англии в начале ХХ века, и служащим которой он являлся. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент). Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине и достаточно малыми. Критерий Стьюдента широко используется в сельском хозяйстве в испытании одних семян против других, в медицине – для сравнения эффективности действия разных лекарственных препаратов, как я уже сказала – в спорте для определения эффективности применения различных методик и в других сферах деятельности человека. (12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уильям_Госсетт_Сили)
В нашем случае используем t – критерий Стьюдента для связанных выборок, когда сравнивается один и тот же признак (количество попаданий), измеренный для одной и той же группы испытуемых до и после некоторого воздействия. В этом случае сравниваемые выборки представляют собой связанные пары результатов, измеренных для каждого испытуемого. Каждая пара результатов характеризуется своей разностью.
(14. https://www.biometrica.tomsk.ru/lis/index19.htm)
Технология расчета t-критерия состоит в расчете средних значений выборок, определения эмпирического значения t-критерия, его сравнение с теоретическим значением для выбранного уровня достоверности (Таблица 4).
Таблица 4
| № п/п | ученики (n=10) | количество результативных бросков | вспомогательные расчеты | ||||
| В начале эксперимента (х) | В конце эксперимента (у) | d | |||||
| 1. | Ведерников Андрей | ||||||
| 2. | Головачев Андрей | ||||||
| 3. | Егоров Александр | ||||||
| 4. | Марач Станислав | ||||||
| 5. | Жигалко Игорь | ||||||
| 6. | Бучельникова Ксения | ||||||
| 7. | Дружинина Анна | ||||||
| 8. | Петрова Елена | ||||||
| 9. | Нещерет Алёна | ||||||
| 10. | Евстафеева Елена | ||||||
| Среднее значе-ние: | 5,8 | 8,8 | 4,1 | ||||
Основной принцип метода проверки гипотез состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза Н0 (до экспериментального воздействия), с тем чтобы попытаться опровергнуть ее и тем самым подтвердить альтернативную гипотезу Н1. Если результаты статистического теста, используемого для анализа разницы между средними, окажутся таковы, что позволят отбросить Н0, это будет означать, что верна Н1 т.е. выдвинутая рабочая гипотеза подтверждается. Такой вывод будет основан на факте того, что tэмп 
tкрит.
(16.https://www.statsoft.ru/home/portal/applications/Multivariatadvisor/T-Student/T-Student.htm)
Теперь, что бы выяснить является ли альтернативная гипотеза Н1 рабочей, проведем расчеты:
(16.https://www.statsoft.ru/home/portal/applications/Multivariatadvisor/T-Student/T-Student.htm)
Вычисление значения tэмп осуществляется по формуле:
Где:
Md- средняя разность значений между соответствующими значениями переменной Х и переменной У;
- стандартное отклонение разностей (показатель рассеивания(т.е. отклонений вариант, который получены в исследовании, от их средней величины));
Значение признака для i-испытуемого;
(средняя арифметическая величина находиться путем сложения всех полученных значений – результатов группы по одному тесту и деления вычисленной суммы на число испытуемых);
= 12,89;
N=10 – размер выборки (количество испытуемых);
n –1= df – число степеней свободы, df =10 – 1=9;
(15. https://ru.wikipedia.org/wiki/T-критерий)
Тогда:
Для определения уровня значимости (эффективности экспериментального воздействия) используется таблица критических значений t – критерия Стьюдента (таблица 5), считая число степеней свободы df = N–1 (в данном случае 9) По таблице 5 находим: tкрит=4.780.
Таблица 5
| f | p | |||||||
| 0.80 | 0.90 | 0.95 | 0.98 | 0.99 | 0.995 | 0.998 | 0.999 | |
| 3.0770 | 6.3130 | 12.7060 | 31.820 | 63.656 | 127.656 | 318.306 | 636.619 | |
| 1.8850 | 2.9200 | 4.3020 | 6.964 | 9.924 | 14.089 | 22.327 | 31.599 | |
| 1.6377 | 2.35340 | 3.182 | 4.540 | 5.840 | 7.458 | 10.214 | 12.924 | |
| 1.5332 | 2.13180 | 2.776 | 3.746 | 4.604 | 5.597 | 7.173 | 8.610 | |
| 1.4759 | 2.01500 | 2.570 | 3.649 | 4.0321 | 4.773 | 5.893 | 6.863 | |
| 1.4390 | 1.943 | 2.4460 | 3.1420 | 3.7070 | 4.316 | 5.2070 | 5.958 | |
| 1.4149 | 1.8946 | 2.3646 | 2.998 | 3.4995 | 4.2293 | 4.785 | 5.4079 | |
| 1.3968 | 1.8596 | 2.3060 | 2.8965 | 3.3554 | 3.832 | 4.5008 | 5.0413 | |
| 1.3830 | 1.8331 | 2.2622 | 2.8214 | 3.2498 | 3.6897 | 4.2968 | 4.780 | |
| 1.3720 | 1.8125 | 2.2281 | 2.7638 | 3.1693 | 3.5814 | 4.1437 | 4.5869 | |
| 1.363 | 1.795 | 2.201 | 2.718 | 3.105 | 3.496 | 4.024 | 4.437 | |
| 1.3562 | 1.7823 | 2.1788 | 2.6810 | 3.0845 | 3.4284 | 3.929 | 4.178 |
Если tэмп tкрит то нулевая гипотеза отклоняется, откуда следует возможность принятия альтернативной гипотезы Н1 о достоверных различиях средних арифметических т.е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия. В нашем случае tэмп = 10,8, а tкрит = 4,780, т.е. tэмп > tкрит, следовательно нулевая гипотеза Н0 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делаем вывод об эффективности экспериментального воздействия.
(14.https://www.biometrica.tomsk.ru/lis/index19.htm)
3. Выводы:
1. Получается, что бросок под углом θ = θопт является оптимальным так как:
-Требует минимальной начальной скорости броска.
-Ошибка в угле бросания при θ = θопт очень мало влияет на дальность броска.
2. Для увеличения точности броска с близкой дистанции бросок необходимо совершать в прыжке.
3.Эффективность нашего эксперимента подтверждается полученными результатами.
4. Использование математических знаний и приложений с основами техники баскетбольного броска одной рукой от плеча позволило сформулировать условия эффективности баскетбольного броска.
5. В процессе экспериментальной деятельности был разработан и сконструирован устройство-тренажер, позволяющий определять (вычислять) критерии успешности баскетбольного броска одной рукой от плеча. Разработка этого устройства может рассматриваться как практический результат данного исследования.
Заключение
Таким образом, действительно, интеграция знаний из различных научных областей позволяет решать многие теоретические и практикоориентированные задачи. Разработка этого устройства может рассматриваться как практический результат данного исследования. Выполненные в работе расчеты подтверждают предположение о необходимости применения знаний математики и естественнонаучных дисциплин для обеспечения наибольшей точности броска в баскетболе.
Мы убедились в большой значимости математики и различных физических представлений не только в технике, экономике, медицине и т.д., но и в спорте.
В данной работе я привела один пример научных исследований в баскетболе. Однако, в каждом виде спорта, особенно в «большом» спорте, роль науки очень велика. Именно использование достижений современной науки позволило китайским спортсменам завоевать больше всех медалей на последней летней олимпиаде в Пекине. Мы называем нашу страну «спортивной державой» и очень хочется надеяться, что на ближайших олимпийских играх, которые пройдут этим летом в Лондоне, вся страна будет гордиться высокими достижениями российских спортсменов.
Информационные ресурсы
1. Андреев В.И. Факторы определяющие эффективность техники дистанционного броска в баскетболе Автореф.дис…канд.пед.наук.-Омск,1989.
2. Баскетбол. Броски по кольцу: Мастера советуют.// Физкультура в школе- 1990г.
3. Баскетбол. Навыки и упражнения / по общ. Редакцией Джерри В. Краузе.- Москва: АСТ● Астрель, 2008.
4. Вальтин А.И. Методика совершенствования в технике бросков мяча в игре баскетбол/Автореф.дис. на соиск. Учен.степ.канд.пед.наук.-Киев,1984.
5. Винокур.Физико-математический журнал Квант // Кинематика баскетбольного броска.- 2000.
6. Гомельский А.Я. Энциклопедия баскетбола от Гомельского. М., 2006.
7. Кудряшев В.А., Мирошкова Р.В. Технические приемы игры в баскетбол.- Волгоград, 1994.
8. Коузи Б., Пауэр Ф. Анализ и концепции в современном баскетболе.-М.: Физкультура и спорт,2009.
9. Матвеев Л.П. Теория и методика физической культуры.-М.:Физкультура и спрот,1991.
10. Ник Сортел. Баскетбол. 100 упражнений и советов для юных игроков.- Москва:Астрель ● АСТ, 2007.
11. Озолин Н.Г. Настольная книга тренера: наука побеждать. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2007.
12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уильям_Госсетт_Сили.
13. https://math.someplace.ru/default.aspx?g=posts&m=600
14. https://www.biometrica.tomsk.ru/lis/index19.htm
15. https://ru.wikipedia.org/wiki/T-критерий
16. https://www.statsoft.ru/home/portal/applications/Multivariatadvisor/T-Student/T-Student.htm