Задание
1. Записать характеристический полином для заданного в таблице значения памяти кода m и значений коэффициентов полинома ai в цепи обратной связи. Построить соответствующую схему формирования М‑последовательности на основе регистра сдвига, охваченного обратной связью (по аналогии с рисунком 2).
2. Составить М-последовательность, генерируемую схемой (по аналогии с табл. 2). Определить ее период N, сравнить его с теоретическим значением.
3. Построить автокорреляционную функцию М-последовательности (по аналогии со стр. 7). Построить ее график. Оценить уровень боковых лепестков, сравнить его с теоретическим.
4. Определить разрешающую способность сигнала, модулированного по фазе М-последовательностью, по дальности и скорости. При расчетах принять длительность всей М-последовательности τ = 10 N ф мкс, частоту несущей – N и МГц, где N и и N ф – число букв в имени и фамилии.
5. Построить схему формирования кода Голда, генераторы псевдослучайных последовательностей ПСП 1 и ПСП 2 которого имеют характеристические полиномы P 1(x) = 1 + x 2 + x 3 и P 2(x) = 1 + x + x 3 и получить генерируемые ими комбинации d и β. Двоичные коды стартовых комбинаций генераторов ПСП 1 и ПСП 2 равны двоичным кодам ] N ф/2[ и ] N и/2[ соответственно, где операция ] x [ обозначает целую часть числа x. Например, для N ф = 9 и N и = 6 получатся следующие стартовые комбинации:
для ПСП1 –> ]9/2[ = 4 = «100»,
для ПСП2 –> ]6/2[ = 3 = «011».
6. Получить коды Голда g 1 и g 2 для сдвигов ПСП2 k = 1 и k = 2.
7. Построить график взаимной корреляционной функции кодов g 1 и g 2.
Табл. – Параметры М-последовательности
| Коэффициенты полинома | Исходное состояние триггеров | ||||||||
| № варианта | m | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 | Tr1 | Tr2 | Tr3 | Tr4 |
Контрольная работа. Генераторы М-последовательности. Генераторы кодов Голда.
М-последовательности
М-последовательность – псевдослучайная бинарная кодовая последовательность, используемая в радиолокации, радионавигации и связи для фазовой манипуляции сигналов.
М-последовательности подразделяют на периодические, когда период повторения кода Т правен длительности сигнала Т с(Т п = Т с); и непериодические (усеченные), когда Т п > Т с. В одном периоде М‑последовательности содержится N = 2 m –1 элементарных кодовых элементов длительностью τ k каждый.
Наиболее часто М‑последовательность задают в виде последовательности символов di.
Для основания 2 значение текущего символа dj кодовой последовательности зависит от m предыдущих символов и рассчитывается по формуле:
 ,
| (1) |
где 
– оператор суммирования по модулю 2, 
. Первые m коэффициентов dj, не равны нулю одновременно, выбираются произвольно.
Величина m – память кодовой последовательности, которая определяет количество ячеек в регистре сдвига, формирующем код. При формировании кодовой последовательности задают произвольную начальную комбинацию символов кода, состоящую из m символов.
Коэффициенты в (1) можно определить с помощью таблицы 1.
| Таблица |
Принцип формирования М-последовательности состоит в том, что члены последовательности выбираются таким образом, чтобы обеспечить максимальное число членов до момента, когда последовательность начнет повторяться. М-последовательности генерируются с помощью рекуррентных соотношений, что позволяет формировать их на регистрах сдвига, охваченных обратными связями. Правила осуществления обратных связей в регистрах, формирующих код на основе рекуррентных линейных последовательностей максимальной длины, можно определить, используя характеристические полиномы кодовых последовательностей:
 ,
| (2) |
где равенство a 0 = 1 выполняется всегда.
Из теории линейных рекуррентных последовательностей известно, что для формирования М-последовательности размера N =2 m –1 необходимо использовать неразложимые примитивные полиномы степени т с коэффициентами ai равными 0 или 1. Неприводимый полином не может быть разложен на множители. Примитивныйполином является делителем двучлена x μ+1 при условии, что μ > N = 2 m –1.
Рекуррентный алгоритм (1) определения символов di кодовой последовательности получают из характеристического полинома (2) при замене xi на di:
 ,
| (3) |
Полином формирования кода на регистре сдвига условно можно представить в виде многочлена, схожего с характеристическим полиномом, в котором x заменяют на символ задержки во времени τ k. Здесь имеется в виду, что τ k – элемент кода и в то же время элемент (ячейка) задержки регистра сдвига:
| (4) |
Этому полиному соответствует каноническая схема устройства формирования кода, показанная на рисунке 1, в которой коэффициенты ai, определяют наличие обратных связей регистра, а «степень» символа τ k показывает номер ячейки (триггера) регистра.
| Рисунок | – Каноническая схема устройства формирования кода М-последовательности |
Устройство состоит из регистра сдвига, представленного на рисунке 1 в виде цепочки т элементов задержки τ k (ячеек или триггеров), т отводов с элементов задержки, ключей (усилителей с коэффициентами усиления 0 или 1 в отводах и устройств сложения по модулю 2. Количество суммируемых по модулю 2 слагаемых зависит от вида формирующего полинома, а точнее от того, какие его коэффициенты ai равны 1.
Рассмотрим частный случай. Пусть т= 3. Полином P (τ k)для регистра из трех элементов τ k, поскольку τ k 0 = 1, представляется следующим образом:
| (5) |
Пусть ai имеет значения: a 1 = a 3 = 1, a 2 = 0. Тогда (5) примет вид:
| (6) |
Схема (рис. 1) конкретизируется в структуру, изображенную на рис. 2, в которой в качестве элементов задержки используются триггеры (Тр). Число разрядов регистра при бинарном коде m = 3.
| Рисунок | – Схема формирования семизначной М-последовательности |
Пусть начальная установка триггеров в рассматриваемом примере следующая: Tpl и ТрЗ находятся в состоянии «0», а Тр2 – в состоянии «1». Тактовые импульсы продвигают комбинацию {010} по регистру. Начальный блок последовательности получился {0101}.
| Таблица | – Принцип работы схемы рис. 2 |
| № такта | Состояние Тр1 | Состояние Тр2 | Состояние Тр3 | Выход схемы |
   0
|  0
| |||
| 0 = 0 Å 0 | ||||
Схема работает следующим образом. При поступлении очередного тактового импульса хранящиеся в Тр импульсы сдвигаются на один элемент вправо и действуют через элементы { аi } на сумматоры по модулю 2. В результате на выходе первого слева сумматора по модулю 2 образуется импульс определенного знака, который заполняет освободившуюся после смещения последовательности вправо первую ячейку памяти.
Построим сигнал М-последовательности на выходе согласованного фильтра (СФ). В соответствии со свойствами СФ, данный сигнал по форме будет повторять автокорреляционную функцию.
Импульсная характеристика (ИХ) СФ должна представлять собой зеркальное отражение временной функции сигнала, а отклик СФ – результат свертки входного сигнала с ИХ.
М-последовательность:
0 1 0 0 1 1 1 или
-1 1 -1 -1 1 1 1
Импульсная характеристика:
1 1 1 -1 -1 1 -1
Отклик СФ будет представлять собой сумму импульсных характеристик от каждого отсчета М-последовательности с учетом знака.
На первый элемент (-1):
-1 -1 -1 1 1 -1 1
На второй (1) с учетом задержки на один такт:
1 1 1 -1 -1 1 -1
3) -1 -1 -1 1 1 -1 1
4) -1 -1 -1 1 1 -1 1
5) 1 1 1 -1 -1 1 -1
6) 1 1 1 -1 -1 1 -1
7) 1 1 1 -1 -1 1 -1
Сумма ИХ и будет откликом фильтра:
-1 0 -1 0 -1 0 7 0 -1 0 -1 0 -1
Отклик СФ по форме совпадает с автокорреляционной функцией (АКФ) М-последовательности.
Уровень боковых лепестков = 1/7 = 1/ N.
Основные свойства М-последовательности:
· М-последовательности содержат 2 m –1 элементов и имеют длительность Т = τ k (2 m –1); так как основание системы счисления (число различных символов) р = 2, а число разрядов регистра и, то число возможных различных состояний регистра равно рm = 2 m. Однако из всех возможных состояний регистра запрещено одно, представляющее собой m нулей, так как появление этой комбинации приводит к обращению в нуль символов во всех других комбинациях;
· сумма 2-х М-последовательностей по модулю 2 является М-последовательностью;
· любые комбинации символов длины n на длине одного периода М-последовательности за исключением комбинации из n нулей встречаются не более одного раза. Комбинация из n нулей является запрещенной: на ее основе может генерироваться только последовательность из одних нулей; последовательности на единицу больше, чем количество символов;
· УБЛ АКФ периодической М-последовательности равен 1/ N; УБЛ АКФ усеченной М-последовательности, под которой понимается непериодическая последовательность длиной в период N, близок к 1/ 
. Уровень боковых лепестков, маскирующих полезные слабые сигналы, отраженные от целей с отличающимися координатами, зависит от N и может быть легко уменьшен путем увеличения параметра т;
· разрешающая способность по дальности d R = с τ k /2, где c – скорость распространения электромагнитных волн;
· разрешающая способность по скорости d V = l/2 T c, где l – длина волны несущего колебания, а T c = N τ k – длительность сигнала М-последовательности.
Коды Голда
На основе М-последовательностей часто формируют ансамбли сигналов, в которых сигналы помимо хороших автокорреляционных характеристик обладают хорошими взаимокорреляционными свойствами. Эти ансамбли используют в системах связи для организации многопользовательского режима с кодовым разделением каналов. Наиболее часто используются последовательности Голда и Кассами.
Коды Голда– это тип псевдослучайных последовательностей, обладающих низкой взаимной корреляцией, которые позволяют не только получить большой набор (ансамбль) последовательностей, но также и однородные и ограниченные значения боковых лепестков корреляционной функции. Коды Голда хорошо подходят для использования в качестве длинных скремблирующих кодов для беспроводного множественного доступа в системах с кодовым разделением каналов (стандарт CDMA), а также применяются в спутниковой навигации (GPS, Galileo, Compass) и 3G/4G системах мобильной связи.
Пусть имеется бинарная М-последовательность { di } длины (периода) N = 2 m –1. Проводится операция децимации с индексом v, где v взаимно прост с N, которая означает выбор каждого v -го символа di (v) последовательности { di } и запись выбранных символов друг за другом в новую последовательность {β i } с таким же периодом N, где β i= di (v).
Ансамбль последовательностей Голда { gi } получают путем суммирования по модулю 2 двух псевдослучайных последовательностей (ПСП): исходной { di } и полученной в результате децимации вспомогательной {β i }, задержанной относительно самой себя на k отсчетов, k = 1,2,… N:
| (7) |
Из (56) следует, что построение сигнатур происходит посимвольным сложением по mod2 ПСП { di } с циклическими копиями ПСП {β i }, а в качестве еще двух сигнатур кодов Голда выступают сами исходные M‑последовательности. Всего в ансамбле { gi } содержится K = N+ 2 = (2 m –1)+2 = 2 m +1 последовательностей Голда.
| Рисунок | – Схема устройства формирования последовательности Голда |
В зависимости от индекса децимации максимальный УБЛ кодов Голда может принимать значения 
или 
.
Рассмотрим пример формирования кода Голда, получаемого суммированием по mod2 основной (индекс 1) и вспомогательной (индекс 2) ПСП с порождающими полинома 5-го порядка.
| (8) |
| Рисунок | – Схема устройства формирования последовательности Голда с N= 31 |
Последовательности Голда могут быть сгенерированы путем суммирования по модулю 2 двух предпочтительных М-последовательностей одинаковой длины. Порождающие полиномы:
ПСП 1:
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
ПСП 2:
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
Код Голда 1 (нет сдвига ПСП 2), ПСП 1 Å ПСП 2 k = 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0
Код Голда 2 (циклический сдвиг ПСП 2 на 1 элемент влево),
ПСП 1 Å ПСП 2 k = 1:
0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
Т.к. ПСП 2 k = 1 =
1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1
…
…
…