Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

(1)

(2)

- это не гарантирует существование решения.

Теорема.

Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.

Доказательство.

Предположим противное: пусть есть два классических решения: . Это значит:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Значит: и

Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.

Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.

(1)

(2)

(3)

(4)

Обозначения: ; .

: ,

Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:

(5)

Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение

может не быть обобщенным.

Определение.

Обобщенное решение - функция u из - называется

обобщенным решением задачи (1)-(4), если и для

, такого, что и выполняется интегральное

тождество (5).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

(7)

- ограниченная область;

, ,...,

- базис,

тогда:

где:

По теореме Фубини:

(8)

Теорема.

ряд (8) сходится в пространстве и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: (9)

Доказательство.

Первый этап.

Пусть:

Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

(10)

(11)

(12)

при почти всех t .

Доказано:

если , то: - решение.

Второй этап.

то: -обобщенное решение смешанной задачи.

Третий этап.

Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.

Осуществляется предельный переход:

Оценим и их производные:

Докажем, что последовательность фундаментальна.

Пусть N>M; рассмотрим:

Значит -фундаментальная в - полном, т.е. .

Надо доказать, что u - обобщенное решение, если -обобщенное решение.

; при переходе к пределу получим:

Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

(1)

(2)

(3)

(4)

Теорема 1.

Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.

Доказательство.

Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.

Возьмем:

где: - произвольная, .

Интегральное тождество приобретет следующий вид:

Теорема доказана.

Анизотропные пространства Соболева.

Определение.

Анизотропным пространством Соболева называется множество функций .

Вводится скалярное произведение: (1)

Свойства пространств:

Теорема.

Пространство -полно.

Доказательство.

Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.

Пусть через .

Теорема 2.

Теорема 3.

-сепарабельно.

Доказательство - продолжение функции до финитной.

Теорема 4.

всюду плотно в . Возьмем

Теорема 5.

Для можно определить след: и при этом: .

Обобщенные решения смешанной задачи для

уравнения теплопроводности.

Определение.

Обобщенное решение - называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если : выполняется интегральное тождество (4).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).

- собственные значения;

- ортогональный базис в ;

- ортонормированный базис в .

Будем считать:

при почти всех t интегрируема с квадратом в .

Равенство Парсеваля:

f -измерима и по неравенству Гельдера. .

По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами .

Решение имеет вид:

Надо доказать сходимость в .

Теорема.

ряд (6) сходится в пространстве к некоторой функции , которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:

Доказательство.

Первый этап.

Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: , а начальная функция: .

Рассмотрим:

-интегральное тождество выполняется.

Второй этап.

Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности . Оценим модуль:

Интегрируем слева и справа:

Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:

Переходим к пределу:

Надо доказать, что u - задает решение задачи.

При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:

Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.

Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема.

Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.

Доказательство.

Пусть -обобщенные решения, оценим .

- добавлена гладкость по t.

Условия, налагаемые на v: .

Формула Кирхгофа.

Дополнительные обозначения:

пусть есть , - фиксируется. Обозначим: - конус с вершиной в .

Возьмем произвольную .

Обозначим:

Выберем и рассмотрим: - вне цилиндра, но внутри конуса.

Обозначим через - часть конической поверхности, ограниченной :

- дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом: - замыкание конуса.

Замечание: - волновой оператор.

Рассмотрим вспомогательную функцию: .

Рассмотрим: . Заметим: .

В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.

Проинтегрируем левую и правую части тождества по :

где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.

Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: ;

потом .

Рассмотрим на конической поверхности интеграл

Вычислим все частные производные функции v по и по направлению внешней нормали к поверхности:

Зная, что , получим: ,

где: . Вывод: .

Рассмотрим , зная, что для .

Переход к пределу:

Вычислим: - внутренняя нормаль к цилиндру.

Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:

учитывая: на цилиндрической поверхности.

В силу оценки:

Получим:

Получена формула Кирхгофа: (1)

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):

Продифференцировано первое слагаемое:

Геометрический смысл формулы.

1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.

2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.

3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.

СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.

Задача Коши для волнового уравнения.

Обозначим:

Определение.

Функция u(x,t), такая, что:

1) - дважды непрерывно дифференцируемая на ;

2) - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;

называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:

Пусть n=3.

Обозначим:

По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса через функции в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве.

Теорема единственности.

Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.

Вопрос существования.

Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4):

Таким образом, вопрос о существовании классического решения
сводится к нахождению условий, налагаемых на функции , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи. Получено лишь достаточное условие.

Предварительные рассуждения.

Введем функцию:

Есть . Для каждого определяется как интеграл.

Производится исследование .

Лемма 1.

Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k: , тогда:

1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве :

2) для и функция удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:

Доказательство.

В (5) перейдем к новой переменной, тогда:

Отсюда следует первое утверждение леммы.

Применим к , тогда:

Подставим t=0: .

Возьмем производные по t от : .

Рассмотрим производную при t=0:

Преобразуем второе слагаемое:

обозначим:

тогда (7) примет вид: .

Используем его для вычисления второй производной по времени:

Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t, получим равенство: - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.

Лемма доказана.

Теорема 2.

Пусть:

- трижды непрерывно дифференцируемая в : ;

- дважды непрерывно дифференцируема в : ;

- непрерывны: ;

тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа (4).

Доказательство.

Рассмотрим второе слагаемое: в силу леммы 1 есть:

Рассмотрим первое слагаемое . T.к. , то:

Начальные условия: ; .

Рассмотрим: ,

где: - обозначение.

В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до второго порядка включительно непрерывны на множестве .

Функция G удовлетворяет:

Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области , и её первая производная по времени непрерывна в этой области.

Вычислим производную F по t: но: , и: Следует: .

- удовлетворяет волновому уравнению:

- удовлетворяет однородным начальным условиям:

Окончательно: - удовлетворяет волновому уравнению и начальным условиям: .

Замечание.

Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда n=3, опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её первые производные и даламбериан в конусе.

Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных (n>3).

Замечание.

Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно получить из n=3 методом спуска.

Метод спуска (как из формулы Кирхгофа получить формулы Пуассона и Даламбера).

Надо получить формулу Кирхгофа для n=2 - формулу Пуассона.

Обозначения:

Преобразуем интегралы:

Рассмотрим:

Заменим .

Получим формулу:

Получена формула Пуассона:

Формула Даламбера:

Обозначим: .

Введём фундаментальное решение уравнения теплопроводности:

Свойства U для уравнения теплопроводности.

2.Если U продолжить тождественным 0 при , то такая функция - бесконечно дифференцируема.

Доказательство.

Если выписывать производные функции U, то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость.

Доказательство.

В качестве упражнения: .

где - формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Дополнительные обозначения.

Пусть , пусть u, Lu - ограничены в полосе.

Введём , обладающую свойством:

- используются срезающие функции.

n - размерность постранства .

N - определяет область интегрирования.

Будем считать:

- интегрирование по цилиндру.

Сначала рассмотрим интеграл:

Можно применить теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:

Т.к. , то

произведём замену , тогда

Если докажем, что остальные пределы дают 0.

Формула Пуассона:

Можно найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности:

Рассматривается задача:

(1)

(2)

Если решение из рассматриваемого класса существует, то оно представляется формулой: .

В рассматриваемом классе решений задача Коши для уравнения теплопроводности может иметь не более 1 решения.

Применим теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

(необходимо, чтобы все элементы последовательности были ограничены интегральной функцией).

где: .

Подынтегральная функция ограничена.

Так как: , то:

Замена: .

, а интеграл - сходящийся.

Сделано ограничение интегрируемой функцией.

Можно применять теорему Лебега о предельном переходе.

Теория Фредгольма.

(в Гильбертовом или Банаховом пространстве).

Рассмотрим компактный оператор гильбертово пространство.

Изучаем уравнение:

(1)

однородное уравнение (2)

однородное сопряженное уравнение (3)

Теорема Фредгольма.

Теорема.

1. Если однородное уравнение (2) имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение для любой правой части из гильбертова пространства H.

2. Если уравнение (2) имеет нетривиальное решение, то тогда неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уравнения (1) ортогональна всем решениям уравнения (3): .