Определение величины и направления угловых скоростей звеньев механизма

Содержание

Задание 1. 3

Задание 2. 5

Задание 3. 8

Задание 4. 10

Задание 5. 14

Задание 6. 18

Задание 7. 21

Задание 1.

Найти реакции связей (опор), наложенных на основное тело конструкции – балку или сварной стержень.

Рисунок 1.1

Дано: G = 6 кН; Р = 7 кН; М = 4 кНм; q = 3 кН/м; α = 60°

Решение:

1. Рассмотрим равновесие балки в пространстве А_ху основания (искомые силы приложены к ней, рис. 1.2).

2. Заданные силы, приложенные к балке: Q – равнодействующая распределенных сил постоян­ной интенсивности (Q = q∙2 = 6 кН,приложена в точке А), сила тяжести G, силаР, направленная под углом α,и пара сил с моментом М.

3. Связи: невесомый стержень ВD (связь первого вида) и неподвижный шарнир А (связь второго вида). Заменим связи реакциями.

Направление реакции неизвестно, поэтому покажем ее двумя составляющими и . Реакция направлена вдоль стержня.

Рисунок 1.2

4. Выпишем уравновешенную на теле систему сил (задан­ных и реакций связей).

Составим три уравнения равновесия сил в координатной форме.

Получим:

(1)

(2)

(3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (3) выразим R_В

Из уравнения (2) выразим Y_А

Из уравнения (1) выразим Х_B

Значение Х_А оказалось отрицательным. Это означает, что действительное направление этой силы противоположно показанному на рис. 1.2.

Реакция неподвижного шарнира может быть построена по составляющим , , а ее модуль равен:

Ответ: ; ; ;

 

Задание 2.

По заданным уравнениям движения точки М в декартовых координатах x = f₁(t), y = f₂(t) найти:

1) уравнение траектории движения точки;

2) скорость и ускорение точки в произвольный момент времени t, а также в момент времени t = t₁;

3) касательное и нормальное ускорения точки в момент времени t₁;

4) радиус кривизны траектории в точке, совпадающей с положением точки М в момент времени t = t₁.

Кроме того, построить, выбрав соответствующие масштабы для

длин, скоростей и ускорений:

1) траекторию точки;

2) положение точки на траектории в момент временя t = t₁;

3) скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорения для момента времени t = t₁.

Дано: , см; , см; t₁ = π/3 с.

Решение:

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время .

Из уравнения выразим величину :

Из уравнения выразим величину :

Воспользуемся формулами тригонометрии:

Получим

- уравнение эллипса (рис. 2.1).

Найдем положение точки М при t₁ = π/3 с:

;

Изобразим точку М на траектории движения (рис. 2.1)

Рисунок 3.1

Скорость точки найдем по ее проекциям на оси координат:

при t₁ = π/3 c имеем

Аналогично найдем ускорение точки

при t₁ = π/3 c имеем

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

откуда

при t₁ = π/3 c имеем

Нормальное ускорение точки

при t₁ = π/3 c имеем

Радиус кривизны траектории

при t₁ = π/3 c имеем

Построим векторы скорости и ускорения для соответствующей точки М на ее траектории.

Ответ: ; ; ; ;

Задание 3.

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также касательное, нормальное и полное ускорения точки М механизма в момент времени t₁, когда путь, пройденный грузом, равен S.

Показать на рисунке векторы скорости и ускорения точки.

Рисунок 3.1

Дано: R₂ = 15 см, r₂ = 10 см, R₃ = 20 см; , см; S = 0,2 м = 20 см.

Решение:

Уравнение движения груза 1 имеет вид:

Так как за время от t₀ = 0 до t₁ (груз пройдет расстояние S = x₁-х₀, то формула

для определения пути S будет иметь вид:

или

Решая это квадратное уравнение, находим, что t₁ = 0,5 с.

Скорость груза 1

пpи t= t₁ = 0,5 c

Ускорение груза 1

2. Угловая скорость ступенчатого колеса 2

Колесо 2 вращается по часовой стрелке.

3. Угловая скорость колеса 3. Угловые скорости двух колес, связанных ременной передачей, обратно пропорциональны их радиусам:

откуда угловая скорость колеса 3:

Колесо 3 вращается по часовой стрелке

4.Угловое ускорение колеса 3

Направление углового ускорения совпадает с направлением вращения колеса, следовательно колесо 3 вращается ускоренно

5. Скорость точки М

При t₁ = 0,5 c:

6.Нормальное ускорение точки М:

При t₁ = 0,5 c:

8. Тангенциальное ускорение точки М

9.Полное ускорение точки М

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 3.2.

Рисунок 3.2.

Ответ: ; ; ; ; ; .

 

Задание 4.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В к С, а также угловые скорость и ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схема механизма приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1

Дано: 3 рад/с; 8 рад/с; r = 18 см; ОА = 48 см, АС = 3 см; α = 135°; β = 90°.

Решение:

Скорость точки А

Скорость точки К

Определим положение мгновенного центра скоростей колеса II (точка Р₂):

пусть , тогда

или

; .

Угловая скорость колеса II

Определим расстояния от точек С и В до мгновенного центра скоростей:

определим из треугольника АВР₂ по теореме косинусов:

Скорость точки В

 

направлена перпендикулярно в направлении .

Скорость точки С

направлена перпендикулярно в направлении .

Рисунок 4.2

Ускорение точки А

- центростремительное

- вращательное ускорение

Угловое ускорение колеса II

Ускорение точки В

где - направлено от В к А.

найдем проекции на оси х и y

Ускорение точки С

найдем проекции на оси х и y

Рисунок 4.3

 

Ответ: , , ; ; ,

 

Задание 5.

Тело движется из точки А но участку АВ (длиной 1), наклонному или горизонтальному в течение τ с. Его начальная скорость v_А. Коэффициент трения скольженяя тела по плоскости равен f. В точке В тело покидает плоскость со скоростью v_Bи попадает в точку Ссо скоростью v_Cнаходясь в воздухе в течение T секунд.

При решений задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

 

Рисунок 5.1.

Дано: α = 30º; f =0,1; v_A = 1 м/с; τ = 1,5 с; h = 10 м.

Найти: v_B -? d -?

Решение:

Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, показываем на рисунке 4 действующие на него силы: вес G, нормальную реакцию N и силу трения скольжения F. составляем дифференциальное уравнение движения

;

Сила трения

где - нормальная реакция

Таким образом

Интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем

Рисунок 5.2.

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи:

при t = 0 с х₁ = 0

Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:

Тогда имеем уравнения движения тела на участке АВ

Для момента времени τ, когда тело покидает наклонный участок

т.е

Далее рассматриваем движение тела от точки В до С.

Покажем силу G, действующую на тело. Составим дифференциальные уравнения его движения по осям х и y:

;

Интегрируя имеем:

Определяем постоянные С₃ и С₄ используя начальные условия:

при t = 0 с х = 0

Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:

Тогда

Интегрируя имеем:

Определяем постоянные С₅ и С₆ используя начальные условия:

при t = 0 с y = 0

Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:

Тогда

Уравнение траектории тела на участке ВС находим исключая параметр t

Из уравнения имеем . Подставляя полученное значение в уравнение имеем

В момент падения камня y = h = 10 м, , отсюда

– не подходит, так как расстояние не может быть отрицательной величиной.

Получили

Ответ: с;

 

Задание 6.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 6.1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая массами нитей и предполагая их нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.

Рисунок 6.1

Дано: m₁ =m кг; m₂ =m кг; m₃ =0,1m кг; m₄ = 0,2m кг; α = 30°; f = 0,10; S = 1 м;

Найти: V₁ -?

Решение:

1. Скорости и перемещения тел

Рисунок 6.2

2. Кинетическая энергия тел.

кинетическая энергия системы

3. Работа внешних сил

- работа силы тяжести тела 1

- работа силы трения тела 1

- работа силы тяжести тела 3

- работа силы тяжести тела 4

- сумма работ

4. Определим скорость тела 1

по теореме об изменении кинетической энергии системы

Ответ:

 

Задание 7.

При кинематическом анализе решаются следующие задачи:

• Определение положений звеньев механизма при заданном положе-

нии входного звена.

• Определение линейных скоростей точек механизма и угловых скоро-

стей звеньев.

• Определение линейных ускорений точек механизмов и угловых ус-

корений звеньев.

• Определение функций положений звеньев, первых и вторых переда-

точных функций механизма.

Рисунок 7.1

Дано: φ₁ = 120°; ω₁ = 50 с^-1; О₁А = 0,05 м; АС = 0,24 м; х = 0,007 м; y = 0,12 м

Решение:

Механизм состоит из входного звена (кривошипа О₁А) и присоединенной к нему и к стойке группы Ассура 2-го класса 3-й модификации 2-го вида (диада ВПВ). В данном механизме группа присоединяется шатуном к входному звену, а ползуном к стойке.

Строим план положений механизма в масштабе K_L = 0,002 м/мм (рис. 7.2.)

Рисунок 7.2.

Масштаб плана скоростей

Определим скорость точки А, принадлежащей кривошипу:

Отложим на чертеже от произвольно выбранной точки P_V, которая называется полюсом плана скоростей, вектор , соответствующий скорости точки А. Тогда масштаб плана скоростей определится следующим образом:

Масштаб плана ускорений

Определим ускорение точки А.

Так как ω₁ = const, то ε₁ = 0 и полное ускорение входного звена механизма равно нормальному ускорению

Отложим на чертеже от произвольно выбранной точки P_a, которая называется полюсом плана ускорений, вектор , соответствующий ускорению точки А. Тогда масштаб плана ускорений определится следующим образом:

Рассматриваем кинематический анализ механизма, в котором шатун 2 присоединяется вращательной парой А к кривошипу 1. Ползун 3 присоединяется вращательной парой В к стойке.

Данный механизм при структурном анализе распадается на следующие группы Ассура.

Стойка – О₁ –1 → 1-й класс,

А_вр – 2 – B_пост –3 – В_вр, 2-й класс, 3-я мод. 2-й вид (диада ВПВ).

Перепишем запись структурного анализа с учетом нумерации звеньев

А_1,2 – 2 – В₂ –3 – B _3,0

Задача кинематического анализа механизма определить для заданного положения механизма следующие параметры:

– скорость V_A1,2 и ускорение α_А1,2 точки А_1,2;

– скорость V _B2 и ускорение α_B2 точки В₂;

– скорость V_C и ускорение α_C точки С;

– угловую скорость ω₂ и угловое ускорение ε₂ шатуна АС;

– угловую скорость ω₃ и угловое ускорение ε₃ ползуна.

Следует заметить, что скорость и ускорение точки С могут быть определены только после определения скорости и ускорения точки В₂

Построение плана скоростей механизма (рис. 7.3)

Кинематический анализ механизма начинаем с входного звена и далее в порядке присоединения групп Ассура.

Входное звено O₁A – (кривошип)

Точка А₁ принадлежит кривошипу (звено 1), и ее скорость определяется по зависимости

.

Вектор этой скорости направлен в сторону угловой скорости ω₁ по касательной к траектории, т. е. перпендикулярно к радиусу О₁А.

С учетом масштаба К_V величина вектора равна

Присоединенная группа А₂ – 2 – В₂ –3 – B _3,0

В точке А вращательной парой соединяются кривошип (звено 1) и шатун (звено 2), поэтому . В точке В вращательной парой соединяются ползун (звено 3) и стойка (звено 0). Скорость точки В₀, принадлежащей стойке, равна нулю:

В точке В поступательной парой соединяются шатун (звено 2) и ползун (звено 3), следовательно: . Скорость точки В₂ подлежит определению.

Движение шатуна рассматриваем как сложное движение, состоящее из переносного поступательного движения вместе с точкой (полюсом) А₂, скорость которой известна, и относительного вращательного движения вокруг полюса А₂ со скоростью .

Тогда в соответствии с теоремой сложения скоростей при сложном движении для точки В₂ имеем:

где – относительная скорость точки В₂ по отношению к полюсу А.

При построении векторного уравнения вектор относительной скорости не может быть построен, так как для него известна только линия действия , но неизвестны величина и направление (ω₂ – неизвестна).

Движение шатуна 2 можно представить как переносное вращательное движение вместе с ползуном 3 и относительное поступательное движение по

отношению к ползуну со скоростью :

где – относительная скорость точки В₂ по отношению к точке В₃, принадлежащей ползуну.

При построении векторного уравнения вектор относительной скорости не может быть построен, так как для него известна только линия действия , но неизвестны величина и направление.

Объединяем уравнения в систему

Эту систему будем решать графически. Цель построения – определить скорость точки В₂.

Рисунок 7.3

Построение плана скоростей производится в следующей последовательности:

1. Выберем полюс плана скоростей Р_V -– общее начало векторов абсолютных скоростей точек механизма.

2. Из полюса Р_V построим вектор скорости точки А в масштабе K_V:

Конец вектора обозначим буквой а.

3. Согласно первому уравнению системы, из конца вектора , т. е. через точку а, проведем линию действия относительной скорости

перпендикулярно звену AB, .

4. Согласно второму уравнению системы, из полюса Р_V (так как ) проведем линию действия относительной скорости параллельно звену .

Отметим точку пересечения двух линий действия относительных скоростей и обозначим ее b₂.

Проведем из полюса Р_V вектор в точку b₂ – это вектор абсолютной скорости точки В₂. Проведем вектор из точки b₃, которая находится в полюсе Р_V, в точку b₂ – это вектор относительной скорости точки В₂ по отношению к точке В₃.

Чтобы получить модули этих скоростей в размерности мс^–1, необходимо измерить вектор в мм и умножить на масштаб K_V:

Скорость точки С, принадлежащей кулисе АС, может быть получена по теореме подобия плана скоростей:

; отсюда .

Отложим на плане скоростей от а отрезок , на отрезке и обозначим конец отрезка точкой с. Из полюса Р_V проведем вектор в точку с.

Это вектор – абсолютная скорость точки С в масштабе K_V.

Чтобы получить модуль этой скорости в размерности м/с, необходимо измерить вектор в миллиметрах и умножить на масштаб K_V:

.

Определение величины и направления угловых скоростей звеньев механизма

Звено 1 – входное звено О₁А (кривошип).

Угловая скорость кривошипа определяется по следующей зависимости

ω₁ = 50 с^–1,

Направление угловой скорости кривошипа ω₁ против часовой стрелки.

Звено 2 – шатун АВ.

Величина угловой скорости звена АВ определяется по формуле

где – длина отрезка на плане скоростей, мм;

K_V – масштаб плана скоростей, мс–1/мм;

ВА – длина шатуна, измеренная на плане положений от точки А до точки В, м.

Для определения направления угловой скорости ω₂ остановим на механизме точку А, перенесем с плана скоростей вектор в точку В и проследим какому направлению угловой скорости ω₂ соответствует вектор скорости . Этой скорости на рис. 7.3 соответствует вращение звена ВА против часовой стрелки. Следовательно, ω₂ будет направлена против часовой стрелки.

Звено 3-ползун.

Угловая скорость ползуна по величине и направлению равна угловой скорости звена 2, ω₃ = ω₂.

Составление векторных уравнений и расчетных зависимостей для построения планов ускорений

Построение планов ускорений производится так же, как и план скоростей в порядке наслоения групп Ассура.

Входное звено О₁А – (кривошип)

Полное ускорение точки А при ω₁ = const определяется по зависимости

Вектор ускорения направлен параллельно звену O₁A от точки А к точке O₁. С учетом масштаба К_а величина вектора равна

Присоединенная группа А_1,2 – 2 – В₂ –3 – B_3,0

В точке А шарнирно соединяются звено 1 и звено 2, поэтому ускорения . Ползун 3 соединяется вращательной парой В со стойкой, поэтому . В точке В шатун 2 поступательной парой присоединяется к ползуну 3, поэтому a_B2 ≠ a_B3. Подлежит определению a_B2 .

Движение кулисы ВА рассматриваем как сложное движение, состоящее из переносного движения вместе с точкой (полюсом) А, ускорение которой известно, и относительного вращательного движения вокруг полюса А.

Тогда в соответствии с теоремой сложения ускорений при сложном движении для точки В₂ получаем

где – относительное ускорение точки В₂ вокруг полюса А.

При построении векторного уравнения вектор относительного ускорения не может быть построен, так как его величина и направление неизвестны.

Движение шатуна ВА рассматриваем как сложное движение, состоящее из переносного вращательного движения вместе с ползуном 3, для которого ускорение точки В₃ известно (a_B3 = a_B0 = 0) и относительного ускорения при поступательном движении шатуна по отношению к ползуну 3, для которого неизвестны величина и направление.

Если при движении точки на плоскости имеет место вращательное переносное движение и относительное поступательное, то возникает дополнительное ускорение, которое называется кориолисовым.

В соответствии с теоремой сложения ускорений при сложном движении для точки В₂ имеем

Разложим относительные ускорения и на нормальные и касательные составляющие и объединим в систему уравнения:

Величины нормальных ускорений и кориолисово ускорение определяются по известным зависимостям, а касательные ускорения известны по линии действия:

или

Чтобы определить размер вектора этого ускорения необходимо модуль ускорения разделить на масштаб K_a:

Ускорение направляется по звену ВА от В к А. Касательное ускорение

Вектор нормального ускорения , так как относительное движение шатуна и ползуна – прямолинейное. Линия действия касательного ускорения направлена по касательной к траектории относительного движения .

Величина кориолисова ускорения для плоского движения определяется по формуле:

Для данного случая ω_пер = ω₃ и V_отн = V_B2B3.

Следовательно,

Чтобы определить размер вектора в миллиметрах, необходимо его модуль разделить на масштаб K_a:

Вектор будет направлен в ту сторону, в которую будет направлен вектор относительной скорости при повороте его на 90° по направлению угловой скорости переносного движения ω₃.

Построение плана ускорений (рис. 7.4) производится в следующей последовательности:

1. Выберем полюс плана ускорений Р_а – общее начало векторов абсолютных ускорений точек механизма.

2. Из полюса Р_а построим вектор ускорения точки А в масштабе K_a,

. Конец вектора обозначим а

3. Из точки а строим вектор , который направлен по звену 2 от В к А: . Через конец этого вектора проводим линию действия касательного ускорения .

4. Согласно второму уравнению системы, из полюса Р_а (первый вектор уравнения ), строим вектор кориолисова ускорения ,известный по величине и направлению, и через его конец проводим линию действия касательного ускорения .

5. Отметим точку пересечения двух линий действия касательных ускорений и и обозначим ее b₂;

6. Проведем из полюса вектор в точку b₂ – это вектор абсолютного ускорения точки В₂.

Вектор относительного ускорения . Вектор относительного ускорения .

Чтобы получить модули этих ускорений в размерности м/с² необходимо измерить соответствующие векторы в миллиметрах и умножить на масштаб K_a:

Ускорение точки С, принадлежащей звену АС, определяется с применением теоремы подобия:

отсюда

Отложим на плане ускорений от точки а отрезок по линии действия вектора и соединим полученную точку с с полюсом Р_а. Этот отрезок представляет собой вектор в масштабе K_a.

Рисунок 7.4