Дисперсия характеризует случайную погрешность. Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.
При проведении такого анализа совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.
Факторные и результативные признаки.
Факторные признаки оказывают влияние на другие связанные с ними признаки и являются независимыми.
Результативные признаки изменяются под влиянием факторных и являются зависимыми.
Пример: квалификация, стаж работы трудящегося — факторные признаки; производительность труда - результативный признак.
Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится на две или более групп по факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:
- общая дисперсия (индекс 0 – общий);
- средняя из внутригрупповых дисперсий; (греческая буква «сигма»)
- межгрупповая дисперсия (греческая буква «дельта»)
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.
Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:
где
- среднее значение результативного признака по i-ой группе;
- общая средняя по совокупности в целом;
- объем (численность) i-ой группы (в разных источниках так же может быть обозначен f)
Если факторный признак, по которому производится группировка, не оказывает никакого влияния на результативный признак, то групповые средние будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая средняя будет равна нулю.
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.
Средняя из внутригрупповых дисперсий (как мы понимаем, внутригрупповых дисперсий может быть несколько) отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:
где 
- дисперсия результативного признака в i-ой группе;
- объем (численность) i-ой группы;
Эмпирический коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.
Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:
Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.
Коэффициент вариации признака в совокупности представляет собой относительную колеблемость признака в совокупности, и рассчитывается по формуле:
- по среднелинейному отклонению 
;
- по среднеквадратическому отклонению 
.
Коэффициент вариации показывает, на сколько % отклоняется индивидуальное значение признака в ряду распределения от среднего уровня.
Допустимые пределы колебания признака в ряду приблизительно 30-35%, тогда совокупность признается однородной.
Если эти пределы превышаются то данная совокупность должна быть подвергнута преобразованию с целью приведения к нормальному распределению.
Имеются данные о распределении семей рабочих на заводе по количеству детей:
| Число детей (х) | Число семей рабочих | ||
| 1 цех | 2 цех | 3 цех | |
| - | |||
| всего |
Вычислить:
а) внутригрупповые дисперсии;
б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;
в) межгрупповую дисперсию;
г) общую дисперсию;
Проверить правильность произведения расчётов с помощью правила сложения дисперсий.
Решение:
Совокупность семей рабочих на заводе разбита на три группы по количеству детей.
1) Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы. Внутригрупповые дисперсии вычисляются по формуле:
2)Нахождению внутригрупповой дисперсии предшествует расчёт средней арифметической по каждой группе (у нас 3 группы).
(среднее количество детей у рабочих в 1-м цехе)
(среднее количество детей у рабочих во 2-м цехе)
(среднее количество детей у рабочих в 3-м цехе)
3) Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:
= 
=
= 
= 
= 0,96
= 
=
= 
= 
0,66
= 
=
= 
= 
0,48
4) Средняя из внутригрупповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из дисперсий групповых:
= 
= 
= 
0,67
Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней:
5)Для её расчета необходимо вычислить общую среднюю:
= 
= 1,034
6) Определим межгрупповую дисперсию:
=
= 
= 0,013
7) Получаем результат, исчислив общую дисперсию по правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:
8) Эмпирический коэффициент детерминации
= 
9) Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:
= 
= 0,44 (взаимосвязь средняя)
Задание:
1. Запишите алгоритм вычисления и сложения дисперсий (с формулами).
2. Используя материалы предыдущей лекции, решите следующие задания:
| Вариант 1(четный порядковый номер в журнале) | Вариант 2 (нечетный порядковый номер в журнале) | ||||||||||||||||||||||||||||||
25, 15, 13, 16, 20
1) Ранжировать
2) Найти следующие значения
| 25, 15, 11, 20, 22
1) Ранжировать
2) Найти следующие значения
|
Надеюсь, что такое «ранжировать», мы помним)