Самостоятельная работа №2
Тема: «Решение уравнений. Способы решения уравнений»
Метод разложения на множители
Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.
Пример: решите уравнение методом разложения на множители: 2,5x^2+4x = 0.
Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную x за скобки: x(2,5x+4) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, x=0 или 2,5x+4 =0. Из последнего уравнения получаем: 2,5x = -4 или x=-1,6.
Ответ: x=0 и x=1,6.
Метод замены переменной
Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.
Решите уравнение методом замены переменной: 
Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: 
Введем новую переменную 
Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид: 
Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что 
или 
Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): 
или 
Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня 
Метод оценки области значений
Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.
Пример: Решите уравнение, используя метода оценки области значений: 
Решение. Рассмотрим функцию 
Известно, что 
поэтому 
Итак, функция 
может принимать значения только из промежутка 
Рассмотрим теперь функцию 
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке 
График соответствующей квадратичной функции
То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная 
) представляет собой промежуток 
Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении 
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при 
Действительно, 
и 
При всех остальных значениях 
функция 
больше 1 (см. график). Значит 
— единственный корень уравнения.
Ответ: 0.
4. Приведение подобных членов.
Переход от уравнения
f(x) + m(x) - m(x) = g(x) (5)
к уравнению
f(x) = g(x) (6),
называют приведением подобных слагаемых.
Прежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнеПрежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнение (5) равносильно уравнению
f(x) + m(x) = g(x) + m(x) (7).
Поэтому переход от уравнения (1) к уравнению (2) означает то же самое, что и переход от уравнения (7) к уравнению (2), т. е. во всех рассуждениях уравнение (1) можно заменять равносильным ему уравнением (7). Таким образом, сказанное в этом пункте будет относиться не только к приведению подобных членов в одной части уравнения, но и к вычеркиванию (взаимному уничтожению) одинаковых слагаемых в левой и правой частях. Прежде чем сформулировать общее утверждение, относящееся к переходу от уравнения (1) к уравнению (2) или, что то же самое, от
уравнения (7) к уравнению (2), рассмотрим следующие примеры.
Пример: {x4 - х + 2} 
{x2 = x}. слагаемого - х и - 2 получается равносильное уравнение х4 = х2.
5. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
Переход от уравнения
f(x) = g(x) (8)
к уравнению
f(x) 
p(x) = g(x) p(x). (9)
называют умножением обеих частей уравнения на одно и тоже выражение.
По поводу этого перехода можно высказать следующие утверждения:
1) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) (иначе говоря, Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x)), то уравнение (9) является следствием уравнения (8) или (8) 
(9)
2) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) и в каждой точке указанного множества функция p(x) отлична от нуля, то уравнения (8) и (9) равносильны, т. е. (8) (9).
Заметим, что в общем случае переход от уравнения (9) к уравнению (8) может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере корней.
Рассмотрим уравнение x2 - x = 0. Умножив обе части этого уравнения на 
, мы получим уравнение 
= 0, которое не является следствием исходного. В самом деле, исходное уравнение имеет корни х1 = 0, х2 = 1, а уравнение = 0 — лишь корень х = 1. Потеря корня связана с тем, что функция — не определена при. х = 0, а как раз это значение х является корнем заданного уравнения.
6. Метод замены неизвестного. Метод замены неизвестного применяется при решении уравнений вида f(g(x)) = 0.
Он основывается на следующей теореме.
Теорема 3. Рассмотрим уравнение f(t) = 0, где t - вспомогательное неизвестное, и пусть t1, t2,3...,tk — все корни уравнения. Тогда для решения уравнения f(g(x)) = 0 достаточно найти все корни каждого из уравнений g(x) = tm (m = l, 2,..., k) и объединить множества корней этих уравнений.
Иначе говоря, f(g(x)) = 0 g(x) = t1, g(x) = t2,..., g(x) = tk.
Эта теорема позволяет свести решение уравнения вида f(g(x))= 0 к решению нескольких более простых уравнений f(t) = 0, g(x) = tk, где k = 1, 2,..., m.
Обычно эта теорема применяется следующим образом.
Дано некоторое уравнение f(x) = 0. Задача заключается в том, чтобы умело подобрать функцию g(x), позволяющую ввести новое неизвестное t = g(x), и затем выразить функцию f(х) через t, т. е. представить ее в виде f(x) = h(g(x)). В результате данное уравнение запишется в виде h(g(x))= 0, и для его решения можно будет применить доказанную теорему. Такой прием решения уравнений и называется методом замены неизвестного (поскольку вначале решается уравнение f(t) = 0, в котором неизвестное х заменено новым, вспомогательным неизвестным t.
7. Способ сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.