Если по каким-либо причинам нет возможности найти корни уравнения

Общие определения.

Возможность исследования проектируемой системы путем экспериментирования с более простой и дешевой системой - моделью - издавна использовалась в инженерной практике. В настоящей главе будет представлено общее представление о процессе моделирования в целом.

В литературе приводятся несколько определений понятия «моделирование». Мы под моделированием будем понимать средство изучения системы путём её замены более удобной для исследования системой (моделью), сохраняющей интересующие исследователя свойства.

Иными словами - модель - это объект любой природы, который способен замещать изучаемый объект в интересующих исследователя свойствах, а моделирование - это построение (или выбор) и изучение моделей с целью получения новых знаний об объектах.

Для общей оценки методов моделирования и их практического использования необходимо провести классификацию методов моделирования. Следует отметить, что в настоящее время не существует единой и общепризнанной классификации методов моделирования. Это объясняется прежде всего многообразием форм моделирования, используемых в общетеоретических, научных, технических и других разработках и исследованиях. Наиболее полной считается классификация, предложенная В.А. Вениковым [13]. Настоятельно рекомендуем обратиться к этой книге с тем, чтобы более детально ознакомиться с видами моделей, их преимуществами и недостатками, найти понятные примеры.

В соответствии с данной классификацией выделяют логические, физические, математические и компьютерные (имитационные) модели.

Одним из исторически первых видов моделирования, который исполь­зовался человеком, является логическое моделирование. Логические модели создаются на основе рассуждений. Очевидно, что любой человек, прежде чем совершить какое-либо действие, вначале думает, то есть строит некую логическую модель. Ярким примером подобного рода моделей являются различного рода общественно-политические и иные учения социальной направленности. Отличительная особенность логических моделей – своеобразный способ доказательства подобия, адекватности модели моделируемой системе. Главнейшим судьей верности той или иной логической модели является время. Только по прошествии большего или меньшего временного промежутка можно говорить об адекватности логической модели. И не всегда известные нам модели этого вида получили подтверждение. Важным же достоинством логических моделей является их обязательное присутствие во всех иных видах моделей.

Другим, также достаточно давно появившимся видом моделей, являются физические модели. Главное их отличие от других видов моделей является наличие в них именно физического подобия наиболее важных исследуемых свойств. Наиболее яркими примерами физических моделей служат детские игрушки. Иной пример – при проектировании автомобиля дизайнеры строят пластилиновую физическую модель будущего изделия. Достоинство этого вида моделей состоит в высочайшей степени наглядности результатов.

Третьим, наиболее мощным видом моделирования является математическое моделирование. Математическая модель – это строго формализованное на языке математики описание исследуемой системы. Зародившись и развиваясь вместе с математикой, данный вид моделирования в настоящее время является определяющим в системных исследованиях. В качестве примеров приведу известную легенду об Архимеде, погибшем в момент создания математической (геометрической) модели метательной машины, другой математической моделью является уравнение колебания маятника. Можно приводить примеры математических моделей, основанные на дифференциальных уравнениях, аппарате теории вероятностей и других разделах математики. Самое главное преимущество математических моделей перед другими видами моделей состоит в строгой формализованной доказанности и обоснованности получаемых результатов. Например, если вы имеете уравнение второго порядка

a·x² + b·x + c = 0,

то всегда известно какие корни оно имеет и как эти корни получить. Зная коэффициенты a, b и с, вы всегда знаете, какие результаты будут получены. В этом и состоит главное преимущество математических моделей.

Если по каким-либо причинам нет возможности найти корни уравнения

f(x, a₁, a₂, …, a_n) = 0,

где a_j – коэффициенты, или отыскать значение определенного интеграла

то на помощь приходят численные методы, которые обеспечивают нахождение не аналитически точного результата, а некоторого приближенного решения. При этом точно обосновывается и доказывается сходимость вычислительных процедур.

Но, к сожалению, математическое моделирование не обеспечивает реше­ние тех задач системных исследований, которые возникли за последние пол­века. Ядерная физика, ракетные технологии, бурное развитие компьютерной техники, развитие высоких технологий, другие современные научные и технические достижения поставили перед исследователями задачи такой сложности, которые нельзя было решить, базируясь только на современных достижениях математики. Конечно, с течением времени будут созданы математические модели, обеспечивающие решение таких задач, но результат необходим уже сегодня!

Пусть исследуемая система S состоит из n элементов s₁, s₂, …, s_n, взаимосвязи которых описываются так называемой матрицей связей А. Предполагая, что отдельные элементы или их группы эффективно могут быть исследованы с помощью различных математических моделей. Одни, к примеру, посредством дифференциальных уравнений, другие – с помощью аппарата теории вероятностей, третьи – с помощью каких-либо других математических описаний. Возникает проблема объединения таких разнородных и не стыкуемых аппаратов. Решить ее можно только найдя некое объединяющее свойство. И таковым является информация, передаваемая по связям между элементами. Но, чтобы провести какие-либо исследования, необходимо «запустить» систему, то есть задать исходные данные и проигрывать, воспроизводить функционирование элементов, производя вычисления, расчеты с помощью соответствующих этим элементам математических моделей. Тем самым будет производиться имитация функционирования всей системы.

Такого рода модели называют имитационными.

Иногда используются термины «машинное», «компьютерное» моделирование. Последнее обусловлено использованием вычислительной техники как инструмента, реализующего значительные объемы расчетов. Итак, имитационное моделирование – это численный эксперимент с математическими моделями элементов исследуемой системы, объединенными на информационном уровне.

Обратим внимание на факт взаимопроникновения различных видов моделирования. Во-первых, во всех типах моделей обязательно присутствует логическая составляющая. Во-вторых, имитационные модели, очевидно, могут включать не только математические модели элементов исследуемой системы, но и физические модели. Подтверждением последнего являются имитационные модели в форме тренажеров для подготовки космонавтов, водителей, пилотов, судоводителей.

Отправной точкой при построении модели исследуемой системы будем считать описание объекта моделирования.

Описание – совокупность сведений об исследуемой системе и условиях, при которых необходимо провести исследование. Описание, представляемое в виде схем, текстов, формул, таблиц экспериментальных данных, характеризующих предполагаемую структуру и функционирование системы, содержит также характеристики внешних воздействий и окружающей систему среды. Таким образом, описание задает предполагаемый алгоритм работы системы и может формально рассматриваться как некоторая функция внешних воздействий.

Модель воспроизводит описание с большими или меньшими упрощениями, зависящими от намерений исследователя и инструментальных средств, имею­щихся в его распоряжении. При этом должен остаться разумный компромисс между точностью воспроизведения и сложностью необходимых для этого средств. Другими словами, при моделировании производится аппроксимация функции-описания более простой и удобной для машинного счета функцией - моделью.

Заметим, что моделирование системы неразрывно связано с её проектированием и разработкой и поэтому является развернутым во времени процессом построения, экспериментального исследования и корректировки.

Назовем различием a (w,m) между описанием w и моделью m величину a (w,m)=| Q_w -Q_m |, где Q_w - скалярный показатель, который мы намериваемся оценить при исследовании системы (например, производительность, надежность, погрешность); Q_m - соответствующий показатель, полученный при анализе модели m.

Аналогично можно определить различие a (m₁,m₂)=| Q<small>m</small>₁-Q<small>m</small>₂ | двух моделей m₁ и m₂.

Переход от системы к модели.

В зависимости от того, какие сведения преобладают в описании моделируемой системы, различают модели функционирующих и проектируемыхсистем. В первом случае структура систем мало изучена и зачастую может считаться неизвестной, но поведение системы при заданных внешних воздействиях доступно для экспериментального исследования. Использованные здесь методы моделирования хорошо освещены в литературе и могут считаться традиционными. Во втором случае известна предполагаемая структура проектируемой системы и данные о функционировании её отдельных элементов, но отсутствуют данные о функционировании системы в целом.

Рис. 2.1. Итеративное построение модели.

Во многих случаях для получения математической модели нужны подробные сведения или значительные экспериментальные возможности, которых может и не быть, и приходится прибегать к эмпирической модели. Конечно, точная математическая и чисто имитационная модели представляют собой две крайности. Обычно используемые модели занимают промежуточное положение. В частности, можно использовать неполные теоретические представления для указания подходящего класса математических функций, которые могут быть потом эмпирически подогнаны. Это означает, что число параметров модели и их численные значения оцениваются по экспериментальным данным.

В завершении данного параграфа рассмотрим так называемый итеративный подход к построению моделей [7] (рис. 2.1).

1. Из взаимодействия теории и практики выбирается класс моделей (для достижения поставленной цели).

2. Так как этот класс слишком обширен для непосредственной подгонки к данным, развиваются грубые методы иден­тификации подклассов этих моделей. Такие методы идентификации используют имеющиеся данные и знание системы и дают для опробования соответствующие экономичные подклассы моделей. Кроме того, процесс идентификации может быть использован для получения грубых предварительных оценок параметров модели.

3. Пробная модель подгоняется к данным, оцениваются её параметры. Грубые оценки, получаемые на этапе идентификации, теперь можно использовать как начальные значения в более точных итеративных методах оценивания параметров.

4. Диагностические проверки позволяют выявить возможные дефекты подгонки и диагностировать их причины. Если такие дефекты не выявлены, модель готова к использованию. Если обнаружено какое-либо несоответствие, итеративные циклы идентификации, оценок и диагностические проверки повторяются до тех пор, пока не будет найдено подходящее преставление модели.

2.2. Принципы и правила моделирования [35]. <div align="center">

 

 

Обсуждаемые в дальнейшем эвристические приемы построения моделей можно условно разделить на принципы и правила.

Принципы (p) определяют общие свойства, которым должна обладать построенная модель.

Правила (r) дают способы получения нужных свойств модели.

Рассматриваемые порознь, принципы и правила могут показаться очевидными. Однако список правил полезен в качестве памятки даже для опытного проектировщика, а система из нескольких принципов и правил зачастую оказывается совсем не тривиальной.

Основные принципы построения модели есть:

(p-1) - компромисс между ожидаемой точностью (надежностью) результатов моделирования и сложностью модели;

(p-2) - баланс мощностей, т.е.:

(p-2-а) - соразмерность систематической погрешности моделирования (отклонения модели от описания системы) с погрешностью в задании параметров описания (исходная неопределенность);

(p-2-б) - соответствие точностей отдельных элементов модели;

(p-2-в) - соответствие систематической погрешности моделирования и слу­чайной погрешности при интерпретации и усреднении результатов моделирования.

Сложность модели, фигурирующая в первом принципе, характеризуется, в конечном счете, временем и стоимостью конструирования модели и экспериментирования с нею. При моделировании на компьютере сложность явно выражается через требуемое быстродействие и оперативную память машины и между этими параметрами также существует разумный компромисс.

Балансируя точности в соответствии с принципом (p-2), необходимо помнить, что при сравнительном исследовании вариантов системы достигается уменьшение случайных погрешностей и компенсация неточностей при задании параметров описания. Отсюда вытекает практическое правило:

(r-1) - следует изыскивать возможность параллельного моделирования конкурирующих вариантов проектируемой системы с оценкой разности или отношения соответствующих показателей.

Хотя принципы (p-1) и (p-2) естественно следуют из опыта проектирования, теоретически не вызывают изменения и поэтому могут считаться почти тривиальными, многие ошибки и неудачи практики моделирования являются прямым следствием нарушения этих принципов (в частности, излишнего усложнения моделей). Поэтому оказывается правомерным непосредственное использование принципов (p-1) и (p-2) в качестве грубых критериев правильности составления модели. Вместе с тем эти принципы оказывают косвенное влияние на процесс построения модели, стимулируя формирование других принципов и правил.

Практическая реализация принципов (p-1) и (p-2) возможна лишь при наличии гибкой управляемой системы элементов модели, позволяющей создать достаточное разнообразие вариантов модели, на которых ищется компромисс или ведется выравнивание точностей. Это требование постулируется как принцип:

(p-3) - достаточное разнообразие элементов модели.

Следующий принцип отражает тот факт, что построение модели есть творческая задача, решаемая человеком:

(p-4) - наглядность модели для исследования и потребителя (заказчика).

Здесь фиксируется спорное с философских и терминологических позиций, но психологически совершенно естественное свойство модели. Работа с наглядными, то есть привычными для исследователя (или коллектива) и заказчика представлениями, предупреждает ошибки и позволяет использовать различные ассоциации при трактовке результатов исследования.

Принцип наглядности определяет наше отношение к эвристическим правилам. Отказываясь от трактовки этих правил как элементов машинной эвристической программы, заменяющей человеческую деятельность, мы будем считать их скорее средством «предварительной настройки» мышления специалиста (или коллектива специалистов), строящего модель.

(p-5) - блочное представление модели.

Предположим, что нами построена полная модель m_w, отражающая все, содержащиеся в описании w, сведения о системе. В соответствии с принципом (p-5) для упрощения этой модели необходимо:

- находить группы тесно связанных элементов модели μ_w (блоки), в частности, блоки, допускающие аналитическое экспериментальное исследование, блоки, ранее исследовавшиеся методом моделирования или удобные для автономного (частичного) моделирования;

- принимать решение о существенности или несущественности каждого блока для данной задачи и в соответствии с этим сохранить структуру описания в пределах этого блока, заменять ее упрощенным эквивалентом или удалять блок из модели.

Разделение на блоки неоднозначно и зависит от того, какие части системы ранее анализировались автономно, от имеющихся стандартных программ, от традиций исследователя и т. п. Однако при прочих равных условиях здесь следует соблюдать правило:

(r-2) - обмен информацией между блоками должен быть по возможности минимальным.

Упрощение блочной структуры регламентируется несколькими эвристическими правилами.

При решении вопроса о допустимости удаления блока без замены его эквивалентом полезно правило:

(r-3) - несущественными и подлежащими удалению считаются блоки модели, мало влияющие на принятый критерий интерпретации результатов моделирования.

Правила замены блоков упрощенными эквивалентами разделяются в зависимости от характера взаимодействия этих блоков с оставшейся частью системы.

(r-4) - удаляя оконечные блоки, составляющие описание взаимодействующего с моделируемой систематикой «потребителя» при формировании критерия интерпретации результатов моделирования.

Рассмотрим теперь способы замены блока, осуществляющего «воздействие» на исследуемую часть системы. Вообще говоря, это воздействие зависит не только от структуры блока, но и от реакции со стороны исследуемой части. Поэтому характеристики воздействия в общем случае нельзя однозначно определить при автономном исследовании блока и блок нельзя заменить одним, не зависимым от исследуемой части, эквивалентом. В том случае поведение исследуемой части следует изучать во всем этом диапазоне, что приведет к многократному моделированию при различных значениях параметров воздействия в пределах диапазона.

(r-5) - блок модели m_w, осуществляющий воздействие на исследуемую часть системы, в общем случае можно заменить множеством упрощенных эквивалентов, не зависящих от исследуемой части. Каждый эквивалент формирует одно из возможных воздействий в пределах заданного диапазона, а моделирование проводится в нескольких (по числу воздействий) вариантах.

Переход к множеству раздельно исследуемых моделей ведет к большим затратам машинного времени.

(r-6) - при упрощении блока, воздействующего на моделирующую часть системы, следует сопоставить возможности:

- прямого упрощения замкнутого контура, образуемого этим блоком и исследуемой частью системы, без разрыва обратной связи;

- построения вероятностного эквивалента с оценкой его статистических характеристик путем автономного исследования упрощаемого блока;

- замены блока наихудшим, по отношению к исследуемой части системы, воздействием.

При отсутствии этих возможностей следует пользоваться более общим правилом (r-5).

Введем еще несколько правил и принципов моделирования. не нуждающихся в особых пояснениях:

(p-6) - специализация моделей, постулирующий:

- целесообразность использования набора малых условных моделей, предназначенных для анализа функционирования системы в узком диапазоне;

- возможность неформального суждения о системе в целом по совокупности частных показателей, полученных на условных моделях.

(r-7) - для проверки соответствия модели m полной модели m_w следует попытаться построить условные модели m_i, i=1,2,…,n, эквивалентные в типовых для проектируемой системы ситуациях, и выполнить сравнительное исследование m_i и m в этих ситуациях. Близость полученных результатов считается основанием для суждения о близости m_w и m в соответствующих ситуациях.

(r-8) - проверку соответствия модели m и полной модели m_w следует вести по сходимости результатов, получаемых на моделях возрастающей сложности.

(r-9) - расчет допусков выполняется по наиболее простой модели, включающей все неточные параметры описания.

Иерархическая структура сформированных выше рекомендаций задает скелет неформальных («правдоподобных») рассуждений, выполняемых при построении модели.

В случае, если сходная с моделируемой системой w система w' находится в эксплуатации, контроль точности моделирования облегчается. Вместо процента последовательного усложнения модели m (правило (r-8)), сходимость которого не гарантируется, можно использовать, например, проверку сходной модели m' по отдельным экспериментальным точкам (правило (r-7)).

На рис. 2.2 приведена общая схема рассуждений. Сплошная стрелка соединяет более общие принципы или правила с частными, его реализующими. Пунктирная стрелка означает возможность использования принципа или правила, на которое она направлена, при реализации другого принципа или правила.

 

Рис. 2.2. Взаимосвязь принципов и правил моделирования.

 

2.3. Выводы по главе. <div align="center">

 

В данной главе нами рассмотрены общие определения моделей и моделирования, известные виды моделей, их достоинства и недостатки и один из существующих подходов к построению принципов и правил создания моделей.