Простейшие логарифмические неравенства.




ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Урок Лекция-практика Логарифмические неравенства их типы и методы

Решения.

Цели: рассмотреть типы логарифмических неравенств и методы их решения.

 

При решении логарифмических неравенств надо хорошо знать свойства логарифмической функции .

 

  Свойства функции
1. Область определения
2. Область значений
3. Четность, нечетность Функция не является ни четной, ни нечетной
4. Нули функции при
5. Промежутки знакопостоянства при при при при
6. Экстремумы Функция экстремумов не имеет
7. Промежутки монотонности при Функция возрастает Функция убывает

 

 

Рассмотрим взаимное расположение графика функции и прямой .

 

Вывод. Прямая пересекает график функции в единственной точке .

 

Определение. Пусть , тогда неравенства или называются простейшими логарифмическими неравенствами.

Что значит решить неравенство?

 

Решить неравенство - значит, найти все его решения или показать, что их нет.

Что называется решением неравенства?

 

Решением неравенства с неизвестным называют число , при подстановке которого в неравенство вместо получается верное числовое неравенство.

 

Вывод. Если , то для каждого соответствующая точка графика функции находится выше прямой , а для каждого из интервала соответствующая точка графика функции находится ниже прямой .

 

Вывод 1:

Основание логарифма
Вид уравнения: Переходим к равносильной системе   И решаем неравенство: .   Вид уравнения Переходим к равносильной системе   , И решаем неравенство .

 

 

Вывод. Если , то для каждого соответствующая точка графика функции находится выше прямой , а для каждого соответствующая точка графика функции находится ниже прямой .

 

Вывод 2:

 

 

Основание логарифма
Вид уравнения Переходим к равносильной системе И решаем неравенство .   Вид уравнения , Переходим к равносильной системе И решаем неравенство   .    

 

 

Типы логарифмических неравенств и методы их решения.

Простейшие логарифмические неравенства.

 

Пример 1. .

 

Решение:

Т. к. Область определения функции ; убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

 

Ответ: (0,2;0,4).

 

Пример 2. .

 

Решение:

Т. к. Область определения функции ; убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

 

Ответ: (0,75;2).

 

2). Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.

 

Пример 1. .

Решение:

 

,

,

.

Т. к. Область определения функции и возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

т. к. , при , то система равносильна неравенству .

,

.

 

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

,

,

.

Т. к. Область определения функции ; возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

.

 

Ответ: .

 

Пример 3. .

 

Решение:

.

Т. к. Область определения функции ; убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

.

Ответ: .

 

Пример 4. .

 

Решение:

.

Т. к. Область определения функции ; возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

.

 

Ответ: .

 

3). Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.(Метод замены переменной и приведение к квадратному неравенству)

 

Пример 1. .

 

Решение:

 

. Пусть тогда

,

Вернёмся к переменной . Т. к. Область определения функции , то

 

возрастает на всей области определения, то

 

Ответ: .

 

Пример 2. .

Решение:

.

Т. к. Область определения функции , то для нахождения области допустимых значений переменной составим систему:

 

.

В найденной области допустимых значений переменной преобразуем неравенство.

,

,

,

,

возрастает на всей области определения и , а также .

С учётом области допустимых значений переменной получим:

 

Ответ: .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-04-24 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: