Сети Петри были разработаны и используются для моделирования систем, которые содержат взаимодействующие параллельные компоненты, например аппаратное и программное обеспечение ЭВМ, гибкие производственные системы, а также социальные и биологические системы. Впервые сети Петри предложил Карл Адам Петри в своей докторской диссертации "Связь автоматов" в 1962 году. Работа Петри привлекла внимание группы исследователей, работавших под руководством Дж. Денниса над проектом МАС в Массачусетском Технологическом институте. Эта группа стала источником значительных исследований и публикаций по сетям Петри. Полная оценка и понимание современной теории сетей Петри требуют хорошей подготовки в области математики, формальных языков и автоматов. Современный инженер - системотехник должен иметь квалификацию, необходимую для проведения исследований с помощью сетей Петри.
1.1 Введение в теорию комплектов.
Сети Петри - инструмент исследования систем. Сети Петри делают возможным моделирование системы математическим представлением ее в виде сети Петри. Математическим аппаратом сетей Петри является теория комплектов. Теория комплектов представляет собой естественное расширение теории множеств. Как и множество, комплект является набором элементов из некоторой области. Однако в отличие от множества комплекты допускают наличие нескольких экземпляров одного и того же элемента. В отличие от множества, где элемент либо является элементом множества, либо нет, в комплект элемент может входить заданное число раз. Пусть область представляет собой {a,b,c,d}, тогда комплекты над этой областью будут иметь вид:
B1={a,b,c} B2={a} B3={a,b,c,c}
B4={a,a,a} B5={b,c,b,c} B6={c,c,b,b}
B7={a,a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,d,d,d,d,d}
Основным понятием теории комплектов является функция числа экземпляров. Обозначение #(x,B) число х в В т.е. число экземпляров элемента х в В. Если ограничить число элементов в комплекте так, что 0 <= #(x,B) <= 1, то получим теорию множеств.
Элемент х является членом комплекта В, если #(x,B) > 0. Аналогично, если #(x,B) = 0 то х не принадлежит В.
Определим пустой комплект 0, не имеющий членов (для всех х: #(x,0) = 0). Под мощностью |В| комплекта В понимается общее число экземпляров в комплекте |B| = Sx #(x,B).
Комплект А является подкомплектом комплекта В (обозначается АÍВ), если каждый элемент А является элементом В по крайней мере не больше число раз, т.е. АÍВ тогда и только тогда, когда #(x,A) <= #(x,B) для всех х.
Два комплекта равны (А = В), если #(x,A) = #(x,B).
Комплект А строго включен в комплект В (АÍВ), если АÍВ и А не равно В. Над комплектами определены 4 операции. Операции для двух комплектов А и В:
1 объединение АÈВ: #(x,AÈB) = max (#(x,A),#(x,B));
2 пересечение А ÇВ: #(x,A ÇB) = min (#(x,A),#(x,B));
3 сумма А + В: #(x,A + B) = #(x,A)+#(x,B);
4 разность А - В: #(x,A - B) = #(x,A) - #(x,B);
Назовем множество элементов, из которых составляются комплекты, областью D. Пространство комплектов Dn есть множество всех таких комплектов, что элементы их принадлежат D и ни один из элементов не входит в комплект более n раз. Иначе говоря, для любого В Î Dn:
а) из х Î В следует х Î D;
б) для любого х #(x,B) <= n.
Множество D¥ есть множество всех комплектов над областью D, без какого либо ограничения на число экземпляров элемента в комплекте.
1.2 Структура сети Петри.
Сеть Петри состоит из 4 компонентов, которые и определяют ее структуру:
- множество позиций Р,
- множество переходов Т,
- входная функция I,
- выходная функция О.
Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями. Входная функция I отображает переход tj в множество позиций I(tj), называемых входными позициями перехода. Выходная функция О отображает переход tj в множество позиций О(tj), называемых выходными позициями перехода. Т.е.
(I: T -> P¥)
(O: T -> P¥).
Определение 1. Сеть Петри С является четверкой С = (P,T,I,O) где
Р={p1,p2,...,pn} конечное множество позиций, n>=0.
T={t1,t2,...,tm} конечное множество переходов, m>=0.
Множества позиций и переходов не пересекаются.
I: T -> P¥ является входной функцией -
отображением из переходов в комплекты позиций.
O: T -> P¥ выходная функция - отображение из переходов в комплекты позиций.
Мощность множества Р есть число n, а мощность множества Т есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом pi, i=1...n; а произвольный элемент Т - символом tj, j=1...m.
рис. 1
Позиция pi является входной позицией перехода tj, в том случае, если pi Î I(tj);
pi является выходной позицией перехода, если pi Î O(tj).
рис. 2
Входы и выходы переходов представляют комплекты позиций. Кратность входной позиции для перехода tj есть число появлений позиции во входном комплекте перехода #(pi,I(tj)). Аналогично, кратность выходной позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода #(pi,O(tj)).
Определим, что переход tj является входом позиции pi, если pi есть выход tj (рис. 2). Переход tj есть выход позиции pi, если pi есть вход tj (рис. 1).
Определение 2. Определим расширенную входную функцию I и выходную функцию О таким образом, что #(tj,I(pi)) = #(pi,O(tj)); #(tj,O(pi)) = #(pi,I(tj));
1.3 Графы сетей Петри.
Для иллюстрации понятий теории сетей Петри гораздо более удобно графическое представление сети Петри. Теоретико - графовым представлением сети Петри является двудольный ориентированный мультиграф. В соответствии с этим граф сети Петри обладает двумя типами узлов:
кружок O является позицией,
планка | является переходом.
Ориентированные дуги соединяют позиции и переходы. Дуга направленная от позиции pi к переходу tj определяет позицию, которая является входом перехода tj. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выданая позиция указывается дугой от перехода к позиции. Кратные входы также представлены кратными дугами.
Определение 3. Граф G сети Петри есть двудольный ориентированный мультиграф G=(V,A) где
V = {v1,V2,...,vs} - множество вершин
А = {a1,a2,...,ar} - комплект направленных дуг,
ai={vj,vk} где vj,vk Î V.
Множество V может быть разбито на 2 непересекающихся подмножества Р и Т, таких что P ÇT = 0, и если ai = (vj,vk), тогда либо vj Î P и vk Î T, либо vj ÎT и vk Î P.
Сеть Петри есть мультиграф, т.к. он допускает существование кратных дуг от одной вершины к другой. Т.к. дуги направлены, то это ориентированный мультиграф. Граф является двудольным, т.к. он допускает существование вершин двух типов: позиций и переходов.
1.4 Пример. Представление сети Петри в виде графа и в виде структуры сети Петри.
Пусть задана следующая структура сети Петри: C = (P,T,I,O), n=5, m=4
P = {p1,p2,p3,p4,p5} T = {t1,t2,t3,t4}
I(t1)={p1} O(t1)={p2,p3,p5}
I(t2)={p2,p3,p5} O(t2)={p5}
I(t3)={p3} O(t3)={p4}
I(t4)={p4} O(t4)={p2,p3}
Для сети, изображенной на рис. 3 расширенными входной и выходной функциями являются:
рис. 3
I(p1)={} O(p1)={t1}
I(p2)={t1,t4} O(p2)={t2}
I(p3)={t1,t4} O(p3)={t2,t3}
I(p4)={t3} O(p4)={t4}
I(p5)={t1,t2} O(p5)={t2}
Пример 2. Пусть задана следующая структура сети Петри: C = (P,T,I,O)
P={p1,p2,p3,p4,p5,p6} T={t1,t2,t3,t4,t5} n=6, m=5.
I(t1)={p1} O(t1)={p2,p3}
I(t2)={p3} O(t2)={p3,p5,p5}
I(t3)={p2,p3} O(t3)={p2,p4}
I(t4)={p4,p5,p5,p5} O(t4)={p4}
I(t5)={p2} O(t5)={p6}
рис. 4
Заметим, что оба представления сети Петри - в виде структуры и в виде графа - эквивалентны. Их можно преобразовать друг в друга.
1.4 Маркировка сетей Петри.
Маркировка m есть присвоение фишек позициям сети Петри. Фишка - это одна из компонент сети Петри (подобно позициям и переходам). Фишки присваиваются позициям. Их количество при выполнении сети может изменяться. Фишки используются для отображения динамики системы.
Маркированная сеть Петри есть совокупность структуры сети Петри C = (P,T,I,O) и маркировки m и может быть записана в виде M = (P,T,I,O, m). На графе сети Петри фишки изображаются крупными точками в кружке, который представляет позицию сети Петри. Количество фишек (точек) для каждой позиции не ограничено и, следовательно, в целом для сети существует бесконечно много маркировок. Множество всех маркировок сети, имеющей n позиций, является множеством всех n векторов, т.е. Nn. Очевидно, что хотя это множество и бесконечно, но оно счетно. Когда маркировка превышает 4 или 5 фишек, то в кружках удобнее не рисовать фишки, а указывать их количество как на рис. 3.7.
рис. 5
Маркировка m=(12,22,8,10) - как вектор. Может оказаться, что структура остается неизменной, а маркировка иная, например вектор маркировки будет иметь вид m = (13,22,9,10)
1.5 Правила выполнения сетей Петри.
Выполнением сети Петри управляют количество и распределение фишек в сети. Сеть Петри выполняется посредством запусков переходов. Переход запускается удалением фишек из его входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых в его выходные позиции.
Переход запускается, если он разрешен. Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход. Фишки во входной позиции, которые разрешают переход, называются его разрешающими фишками. Например, если позиции р1 и р2 служат входами для перехода t1, тогда t1 разрешен, если р1 и р2 имеют хотя бы по одной фишке. Для перехода t3 с входным комплектом {p3,p3,p3} позиция р3 должна иметь не менее 3 фишек для разрешения перехода t3 (рис. 6).
рис. 6
Определение 3.9. Переход tj, Î Т маркированной сети Петри С = (Р,T,I,O,m) с маркировкой m, разрешен, если для всех pi, Î P, m(pi)>=#(pi,I(tj)).
Переход запускается удалением разрешающих фишек, из всех его выходных позиций (количество удаленных фишек для каждой позиции соответствует числу дуг, идущих из этой позиции в переход), с последующим помещением фишек в каждую из его выходных позиций (количество помещаемых фишек в позицию соответствует количеству дуг входящих в данную позицию из перехода).
Переход t3 I(t3) = {p2} и O(t3) = {p3,p4} разрешен каждый раз, когда в р2 будет хотя бы одна фишка. Переход t3 запускается удалением одной фишки из позиции р2 и помещением одной фишки в позицию р3 и р4 (его выходы). Переход t4, в котором I(t4) = {p4,p5} и O(t4) = {p5,p6,p6} запускается удалением по одной фишке из позиций р4 и р5, при этом одна фишка помещается в р5 и две в р6 (рис. 7).
|
рис. 7
.
Определение 3.10. Переход tj в маркированной сети Петри с маркировкой m может быть запущен всякий раз, когда он разрешен. В результате запуска разрешенного перехода tj образуется новая маркировка m':
m'(pi) = m (pj)-#(pi,I(tj)+#(pi,O(tj))
.