Векторное пространство над полем

ПустьV– множество элементов произвольной природы V={а,в,с…(a, b, c над ними черта вектора)}. Р – числ. поле. Заданы бинарные алг. операции на V: а+в, lаÎV, lÎР, аÎV. Указанные операции обладают след-ми св-ми: "а, в, сÎV

1) а+в=в+а; 2)(а+в)+с=а+(в+с); 3) $0ÎV нейтральный по сложению; 4)"аÎV $-аÎV "l, mÎ Р, "а, вÎV

5) (lm)а=l(mа); 6) (l+m)а=lа+mа; 7) l(а+в) = lа + lв;8) "а 1×а=а

Тогда множество V наз. векторным пространством над числ. полем Р.

Элементы множества V – векторы, не вкладывая в этот термин геом. содержания.

Пр-р: ы: V₁ – множество геометрических векторов, лежащих на прямой. Операции «+» и «×» определяются как в школе. Роль 9 играет 0 вектор. Для каждого есть противоположный;

V₂ – геометрические векторы плоскости с общим началом; V₃ – геом. векторы трехмерного пространства;

А_n– n-мерное арифм. пространство. А_n={(a₁,a₂,…,a_n), aiÎR}, P=R

Рассмотрим 2 набора: a= (a₁,a₂,…,a_n) –арифметич. вектор, в=(b₁,b₂,…,b_n)

а+в=(a₁+b₁,a₂+b₂ , …, a_n+b_n) ÎА_n

lÎR la=(la₁,la₂,…,la_n) ÎА_n

0=(0,0,…,0); -a=(-a₁,-a₂,…,-a_n). Арифметическому вещественному пространству А₁, А₂,…,Аn можно придать геометрический смысл, если арифм. вектор – упорядоченный набор чисел, представить геом. вектором плоскости, прямой, пространства, заданным своими координатами в некоторой системе координат (n=2, объекты – пары чисел, n=3– тройки чисел).

Пусть пространство V над полем Р. Рассмотрим совокупность векторов а₁, а₂, …,а_кÎV.

S=(а₁, а₂, …,а_к)

Опр. Линейной комбинацией вект-в а₁, а₂, …,а_к наз. вектор, представленный выражением: l₁a₁,l₂a₂,…,l_кa_к, l_iÎР. l_i – коэффициенты. Линейная комбинация всегда Î простр-у V.

Пр-р:: А₃={(a₁,a₂,a₃), aiÎR } над R

а₁=(0,2,-3), а₂=(1,1,-1), а₃=(5,0,2), а₄=(0,0,-4)

l₁=1, l₂=-1, l₃=0, l₄=1/2; l₁а₁+l₂а₂+l₃а₃+l₄а₄=(-1,1,-4)

Опр. Совокупность векторов S=(а₁, а₂, …,а_к)– линейно зависима«$l₁,l₂,…,l_к, l_iÎР_i:

1) линейная комбинация l₁а₁+l₂а₂+…+l_ка_к=0

2) (l₁,l₂,…,l_к)¹(0, 0,0,…,0)– не все коэффициенты l_i =0

Опр. Совокупность векторов (а₁, а₂, …,а_к) наз.линейнонезависимой «l₁а₁+l₂а₂+…+l_ка_к=0®l₁=l₂=…=l_к=0

Пр-р: 1. V₂– пр-во геометрич. векторов плоскости1) S=(а,в)– лин. независ.

2) S=(а,в)– лин. завис.

3) S=(а,в,с)– лин. завис., в=l₁а+l₂с, l₁а-в+l₂с=0

2. А₃: а₁(1,-1,2), а₂(0,1,-2), а₃(-1,-1,3),. Составим лин. комбинацию с неизвестными коэффициентами и приравняем к 0: l₁(1,-1,2)+l₂(0,1,-2)+l₃(-1,-1,3)=(0,0,0)

(l₁-l_3, -l₁+l₂-l₃, 2l₁-2l₂+3l₃)=(0,0,0).

l₁-l₃=0 Зад-а свелась к реш-ю

-l₁+l₂-l₃=0 однород-й с-мы уравнений,

2l₁-2l₂+3l₃=0 кот-я всегда совместна,

либо у нее единственное решение – нулевое, либо бесконечное множ-во реш-ий

1 0 -1 |0 r=3, n=3 ед. реш-е l₁=l₂=l₃=0

0 1 -2 |0 вывод: совокупность

0 0 1 |0 век-в лин. независима

Т.. Совокупность векторов S= (а₁, а₂, …,а_к) – линейно зависима«когда хотя бы 1 из векторов м.б. выражен в виде лин. комбинации остальных.

1ч. Пусть S– лин. зависима®$l₁,l₂,…,l_к, l_iÎR; l₁а₁+l₂а₂+…+l_ка_к=0 и допустим l_i ¹0

а₁=-(l₂/l₁) а₂ – (l₃/l₁) а₃ – …–(l_k/l₁) а_k

2ч. Пусть, к-л. из векторов представляет линейную комбинацию остальных

а₁=b₂а₂+b₃а₃+…+b_ка_к; а₁–b₂а₂ –b₃а₃–…–b_ка_к=0

Коэффициенты при а₁=1® вся совокупность линейно зависима.

Свойства линейной зависимости:

1) Совокупность, содержащая 0 -вектор, лин. независима.

S= (0,а₁, а₂, …, а_к); 0= 0×а₁+ 0×а₂+ …+0×а_к

2) Если некоторое подмножество векторов совокупности S образует линейнозависимую совокупность, то и вся совокупность S линейнозависима.

S= (а₁, а₂, …, а_к1,…,a_t); S¢ÌS, S¢=(а₁, а₂, …,а_к)– лин.зависима.

(l₁,l₂,…l_к)¹(0,0,…,0); l₁а₁+l₂а₂+…+l_ка_к+0×а_к+1+…+0×а_t=0

3) Если совокупность S= (а₁, а₂, …,a_t) – лин. независима, то "подмножество этой системы представляет собой линейнонезависимое подмножество.

4) (это свойство касается арифмет. в-в.)

Совокупность векторов а₁=(a₁₁;a₁₂;…;a_1r;…;a_1n);a₁₁¹0;a₂=(0;;a₂₂;…;a_2r; …;a_2n); a₂₂¹0; a₃=(0; 0;a₃₃;…;a_3r;…;a_3n); a₃₃¹0; a_r=(0; 0;…;a_rr;a_rn); a_rr¹0;

S= (а₁, а₂, …, а_r)– совок. векторов ступенч. вида. Совокупность арифметических векторов в ступенчатом виде линейнонезависима.

Док-во: l₁а₁+l₂а₂+…+l_rа_r=0; рассмотрим равенство по компанентам: l₁a₁₁=0; Т.к. a₁₁¹0; то l₁=0; l₁a₁₂+l₂a₂₂=0Þт.к. a₂₂¹0; то l₂=0; l₁=l₂=…=l_r=0

Базис. Пусть имеется векторное пространство V над Р. Рассмотрим совокупность векторов пространства S=(а₁, а₂, …,а_к).

Опр. Базисом совокупности векторов S называется максимальная линейно независимая подсистема векторов совокупности S, т.е. это подмножество совокупности S, обладающее двумя свойствами:1) это подмножество есть линейно независимая совокупность векторов; 2)" векторов совокупности S представляет лин. комбинацию векторов в этом подмножестве.

Пр-р: S: а₁=(2,-1,3), а₂=(1,-1,-1), а₃=(3,-3,5), а₄=(6,-5,7). Найти базис, т.е. максимально линейно независимую подсистему. Эти векторы можно истолковать как геометрические векторы трехмерного пространства." четверка векторов в трехмерном пространстве лин. зависима и не может служить базисом.

S¢=(а₁, а₂)– лин.независима, т.к. лин. завис-ть проявляется в пропорциональ-и компонент. Рассмотрим совокупность: (а₁, а₂,а₃).

(3,-3,5)=l₁(2,-1,3)+l₂(1,-1,-1);

2l₁+l₂= 3 l₁+l₂= 3

l₁-l₂= -3 l₂= 3

3l₁-l₂=5 0×l₂= 8

– система несовместна. Не $ l₁,l₂: а₃=l₁а₁+l₂а₂. Ответ: тройка векторов (а₁, а₂,а₃)– лин.независимый базис.

Совокупность векторов может иметь несколько базисов. Проверить будет ли базисом (а₁, а₂,а₄). Векторное пространство представляет из себя бесконечную совокупность векторов и для него можно ввести понятие базиса.

Опр. Базисом векторного пространства V называется такая конечная упорядоченная совокупность векторов е₁, е₂,.., е_n, которые линейно независимы, и каждый вектор пространства представляет из себя линейную комбинацию е₁,е₂,е_к.

Т. о базисах. " 2 базиса одной и той же совокупности векторов, состоят из одинакового количества векторов.

Док-во: сначала док-ем ЛЕММУ. Пусть имеется совок-ть векторов S₁=(а₁,а₂…, а_m), S₂=(в₁, в₂…, в_к), m>k. И каждый вектор большей совокупности S₁ выражается через линейную комбинацию векторов меньшей совокупности. В этом случае S₁ лин.зависима.

а₁=l₁₁в₁+l₁₂в₂+…+l_1kв_k

а₂=l₂₁в₁+l₂₂в₂+…+l_2kв_k

…………………………

а_m=l_m1в₁+l_m2в₂+…+l_mkв_k.Составим лин. комбинациюю и приравняем ее к 0:

a₁a₁+a₂a₂+…+a_ma_m=0; a₁(l₁₁в₁+l₁₂в₂+…+l_1kв_k) + a₂(l₂₁в₁+l₂₂в₂+…+l_2kв_k) + … + a_m (l_m1в₁ + l_m2в₂ + … + l_mkв_k) =(0,0,0,….,0).

(l₁₁a₁+l₁₂a₂+…+l_m1a_m) в₁+(l₁₂a₁+l₂₂a₂+…+l_m2a_m)в₂+…+ (l_1kв₁+ l_2kв₂ + … +l_mkв_m) в_k=0. (1)

Приравниваем каждый из коэффициентов в_i к нулю:

l₁₁a₁+l₁₂a₂+…+l_m1a_m=0

l₁₂a₁+l₂₂a₂+…+l_m2a_m=0 (2)

l_1ka₁+l_2ka₂+…+l_mka_m=0

(надо доказать, что среди a есть отличные от 0)

Линейная комбинация (1) =0. Неважно линейно зависима или независима сов-ть векторов в₁, в₂, в_k. Если потребовать, чтобы коэффиц-ты лин.комбинации были =0, мы получим 0-вектор.это приводит нас к однородной системе лин уравнений (2), в которой a₁,a₂,…,a_n – неизвестные. Эта сис-ма имеет бесконечное множество решений, т.к. число ур-ий k<числа неизвестных m. Значит есть ненулевое решение (a₁,a₂,…,a_m). Т.е. совокупность векторов (а₁,а₂,…,а_m) – линейнозависима.

Док-во о базисах: пусть имеются 2 базиса одинаковой совокупности S:

Б1=(а₁,а₂ …а_m),Б2=(в₁,в₂ …в_k). Доказать m=k.

1) m>k. Т.к. Б2–базис, то по определению каждый вектор совокупности S можно выразить через векторы Б1 в виде линейной комбинации Б2. по лемме Б1– линейно зависим, что противоречит условию (Б1– базис)

2) m<k (ан-но); 3) остается m=k.

Базис арифметич. пространства состоит из n векторов

е₁=(1,0,0,…0),

е₂=(0,1,0,…0), – стандартный базис

……………

e_n=(0,0,0,…1),

Пр-р: R₃ –трехмерное пространство. R₃(a₁, a₂, a₃), a_iÎ R₃ над R.

Пр-р ы базисов в этом пространстве:

е₁=(1,0,0) в₁=(1,0,-1)

Б1= е₂=(0,1,0) Б2= в₂=(2,-1,2)

е₃=(0,0,1), в₃=(3,-1,1)

l₁в₁+l₂в₂+l₃в₃=0

l₁+2l₂=0

-l₂-l₃=0 Þ l₂=l₃

-l₁+2l₂+l₃=0 Þ l₁=l₃

-l₃-2l₃=0Þ - 3l₃=0 Þl₁=0, l₃=0, l₂=0 Эта система век-ов лин. независима.

Опр. Координаты вектора а в базисе е₁, е₂,.., е_n наз. коэффиц. разложения вектора а по векторам базиса: а = l₁е₁, l₂е₂,.., l_nе_n; а=(l₁, l₂,.., l_n){e_i}

Пр-р: найти координаты вектора а в {e}

а =(2,3,-1) е₁=(1,-1,0)

е₂=(1,2,3) а=a₁ е₁, a₂ е₂, a₃ е₃

е₃=(0,1,-1)

a₁+a₂=2 1 1 0 2 a₃= 3

-a₁+2a₂+a₃=3 -1 2 1 3 Þ a₂= 2/3

3a₂-a₃= -1 0 3 -1-1 a₁= 4/3

Ответ: а= (4/3, 2/3, 3) {e}

Пр-р: Дана совокупность векторов: а₁=(2,-2,3), а₂=(3,-1,-1), а₃=(1,1,-4), а₄=(5,1,-9). Найти базис, выразить векторы не вышедшие через базис.

Составим матрицу из компонент векторов, будем приводить к ступенчатому виду и указывать все операции, производимые над векторами.

а₃ 1 1 -4 1 1 -4 а₃

а₁ 2 -2 3 ® 0 -4 11 а₁+(-2) а₃

а₂ 3 -1 -1 0 -4 11 а₂+(-3) а₃ ®

а₄ 5 1 -9 0 -4 11 а₄+(-5) а₃

 

1 1 -4 а₃

0 -4 11 а₁-2а₃+ а₂-3а₃- а₁+2а₃=0 (1)

® 0 0 0 а₄-5а₃-а₁+2а₃=0 (2)

0 0 0

Rang A=2

В качестве базиса можно взять те строки, кот. в ступенчатой форме матрицы остались ненулевыми: а₁,а₃ – базис.

Остальные строки а₂, а₄ выразим через (1) и (2)а₂= а₁+а₃, а₄= а₁+3а₃. размерность = 2 (количество векторов, входящих в базис)

Опр. Количество векторов, входящих в базис некоторой сов-ти векторов, наз-ся рангом некоторой сов-ти век-ов.