Кафедра правовой информатики, информационного права
И естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
к.т.н., доцент
А.В. Мишин
«__» декабря 2019 г.
ПЛАН
Практического занятия
Дисциплина: «ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЮРИДИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
Тема 4: «ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ»
Разработал:
доцент кафедры
к.т.н., доцент
В.К. Голиков
Материалы обсуждены и одобрены
на заседании кафедры ПИИПЕД,
протокол № от «» декабря 2019 г.
Воронеж - 2019
План проведения занятия
Тема № 4: «Основные закономерности создания информационных процессов»
Занятие № 5: «Высказывания и операции над ними»
| Учебные вопросы | Время, мин |
| Вступительная часть.................................... 1. Понятие высказывания................................. 2. Операции над высказываниями.......................... Заключительная часть................................... |
Литература:
основная:
1. Мишин А.В. Информатика и математика: учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 21-36.
дополнительная:
2. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 60-75.
Содержание занятия и методика его проведения
Вступительная часть. Преподаватель проверяет наличие и готовность студентов к проведению занятия, делает соответствующие записи в журнале. Объявляется тема, цель и план проведения занятия. Акцентируется внимание студентов на важности изучаемой темы для усвоения последующего материала учебной дисциплины.
Основная часть. Преподаватель проверяет усвоение студентами ранее изученного учебного материала и выполнение ими домашнего задания.
Задача. Записать в 32 разрядной сетке с плавающей запятой число -254,314(10).
Решение. Переведём число в двоичную систему:
254(10) = 11 111 110(2); 0,314(10) = 0,01010000011000100100110111010010111…(2).
Мантисса имеет 23 разряда, поэтому заданное число в нормализованном виде
-254,314(10) = -0, 1111 1110 0101 0000 0110 001×2+1000 запишется в разрядную сетку так:
Доводит основные теоретические сведения и организует выполнение заданий по теме.
Заключительная часть. В заключительной части практического занятия преподаватель подводит итоги, отмечает ошибки в действиях студентов, оценивает работу и отвечает на их вопросы, выдаёт задание на самоподготовку.
Задание на самоподготовку. К следующему практическому занятию:
1) повторить содержание операций над высказываниями;
2) письменно выполнить следующую задачу.
Задача. Определите истинность высказывания (Ø (а Ú Ø b) ® (b ÙØ с)) «Ø (с Ú а), если высказывания a, b – истинны, а с – ложно.
Тема 4.5. Высказывания и операции над ними
Цель занятия – изучить первичные понятия логики высказываний, необходимые для построения логически непротиворечивых утверждений относительно оценивания социально-правовых явлений.
Теоретические сведения
Понятие высказывания
Многие элементарные логические задачи можно решить при помощи логики высказываний, которая является основной составной частью математической (символической) логики.
Логика высказываний имеет дело с действиями над нерасчленёнными высказываниями, т. е., в отличие от более сложных частей логики, здесь не интересуются структурой высказывания, тем, каковы его подлежащее и сказуемое, как и чем они соединены, и т. п.
Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого точно известно, что оно истинно или ложно.
Например, высказываниями являются предложения «Москва – столица Российской Федерации», «Медь не является проводником электричества», так как о первом можно сказать, что оно истинно, а о втором, что оно ложно.
Однако не всякое предложение является высказыванием. Например, восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются («Встать, суд идёт!», «Иди сюда», «Что вменяется в вину подсудимому?», «Который час?» и т.д.). Не являются высказываниями и определения понятий, например, «юридическим лицом признаётся организация, которая имеет в собственности, хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество и отвечает по своим обязательствам этим имуществом, может от своего имени приобретать и осуществлять имущественные и личные неимущественные права, нести обязанности, быть истцом и ответчиком в суде».
Не являются высказываниями и предложения «Он виновен в совершении правонарушения» - в нём не указано, о каком человеке идёт речь или при каких х рассматривают равенство. Однако, предложение «Некоторые люди виновны в совершении правонарушений» уже является высказыванием (истинно).
Если высказывание истинное, то ему предписывается значение «истина» (другие обозначения: «1», «И », «Т »). Ложному высказыванию предписывается значение «ложь» (другие обозначения: «0», «Л », «F »). Совокупность возможных значений высказывания образует множество истинности {0, 1}.
Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Приведём примеры:
а) заинтересованное лицо вправе обратиться в суд за защитой своих нарушенных или оспариваемых прав и законных интересов (истинное высказывание);
б) 2 + 3 > 5 (ложное высказывание);
в) в пределах нашей Галактики существуют внеземные цивилизации (это высказывание, несомненно, либо истинно, либо ложно, но пока неизвестно, какая из этих возможностей выполняется).
Рассмотрим три примера.
1. Даны два множества: С = (l; 3) – интервал числовой оси; D = [2; 4] – отрезок числовой оси. Выбрать истинные для них высказывания:
а) 
б) 
в) 
г) 
Ответ: а) и в).
2. Множества А, В и С изображены на диаграмме. Выбрать истинные для них высказывания:
а) 
б) 
в) 
г) 
Ответ: а) и б).
3. Даны множества А = { a, b, 4, 5} и В = { b, d, 3, 4}. Выбрать истинные для них высказывания:
а) 
б) 
в) 
г) 
Ответ: а) и б).
Из произвольных высказываний при помощи логических операций можно образовать другие высказывания. Это мы делаем в повседневной жизни, когда объединяем предложения при помощи связок или же отрицаем что-либо, что нам сообщили, и т. п. Например, можно отрицать высказывание «Поезд не уходит в 12 часов» и образовать из этого высказывания, помещённого в кавычки, новое высказывание: «Неправда, что поезд не уходит в 12 часов». Из двух высказываний – «Этот поезд опаздывает» и «Я не могу его дождаться» – можно образовать новое высказывание: «Этот поезд опаздывает, и я не могу его дождаться». Но из тех же двух «простых» высказываний можно образовать и другое «сложное» высказывание, применив союз «если..., то...»: «Если этот поезд опаздывает, то я не могу его дождаться». Из высказываний – «Теперь перед нами зажёгся зелёный сигнал» и «Теперь перед нами зажёгся красный сигнал» – можно образовать высказывание: «Теперь перед нами зажёгся зелёный сигнал», которое исключает (утверждение) «теперь перед нами зажёгся красный сигнал».
Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым (или элементарным).
Например, сложное высказывание «Сегодня в первой половине дня я был в академии, а после обеда пошёл в библиотеку» состоит из двух простых высказываний: «Сегодня в первой половине дня я был в академии» и «Сегодня после обеда я пошёл в библиотеку».
Операции над высказываниями
Из заданных высказываний можно получить новые с помощью логических операций (или логических связок, функторов), имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, строгая дизъюнкция, отрицание. Хотя эти названия звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные связки «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...», «или..., или...», а также присоединение к высказыванию частицы «не».
Высказывания будем обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с и т.д.
Отрицанием (логическим «НЕ») высказывания а называют такое высказывание Ø а, которое ложно, если а истинно, и истинно, если а ложно.
Отрицание является унарной связкой, т.е. оно из одной формулы образует другую, более сложную формулу: из произвольной формулы а формулу Ø а. Обозначение Ø а читается так[1]: «Не а », или «Неверно, что а ». Обычно для построения отрицания данного высказывания надо присоединить к сказуемому частицу «не» или, если она уже есть, опустить её. Например, для высказывания а («Сейчас небо синее») отрицание будет Ø а («Сейчас небо не синее») или Ø а («Сейчас небо не является синим»).
Конъюнкцией (логическим «И») двух высказываний а и b называется такое высказывание а Ù b (читается «а и b »)[2], которое истинно только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания; в остальных случаях – ложно.
Поясним данное определение на примерах. Высказывание «число 2 чётное и простое» сложное, оно состоит из двух высказываний: а («число 2 чётное») и b («число 2 простое»), связанных союзом «и». Оба эти высказывания истинны. Истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция высказываний а и b. А вот высказывание «число 12 чётное и простое» является ложным. Оно есть конъюнкция двух высказываний а («число 12 чётное») и b («число 12 простое»). Первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому ложным является также и их конъюнкция.
Конъюнкция, равно как и логические операции, приведенные ниже, являются бинарными связками, т. е. они из двух формул образуют новую, более сложную формулу.
Дизъюнкцией (или неисключающей дизъюнкцией, логическим «ИЛИ») двух высказываний а и b называется высказывание а Ú b (читается: «а или b »), которое ложно только тогда, когда ложны оба составляющие его высказывания; в остальных случаях – истинно.
Например, сложное высказывание «письменное доказательство представлено в подлиннике или в форме надлежащим образом заверенной копии» будет истинным, если суду будет предъявлен хотя бы один из указанных документов.
В некоторых контекстах естественного языка союз «или» имеет иной смысл. Так, в высказывании «Подозреваемый находился или дома, или у приятеля» выражается мысль о наличии только одной из двух ситуаций, т.е. утверждается их альтернативность, невозможность одновременного присутствия подозреваемого в разных местах. В этих случаях союз «или» не может быть заменён неисключающей дизъюнкцией (символом «Ú»), ему будет соответствовать иная связка, которая называется строгой дизъюнкцией.
Импликацией двух высказываний а и b называется такое высказывание а ® b (читается: «если а, то b »; «из а следует b »; «а влечёт b »; «а достаточное условие b », «а имплицирует b »), которое ложно тогда и только тогда, когда а истинно, а b - ложно; в остальных случаях – истинно. Высказывание а называют условием (или посылкой, антецедентом), a высказывание b - заключением (или следствием, консеквентом).
Попробуем на примере разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания: а («проведение экспертизы поручено двум экспертам») и b («эксперты вправе совещаться между собой»). Импликация а ® b в этом случае означает: «если проведение экспертизы поручено двум экспертам, то они вправе совещаться между собой». Когда высказываниям а и b истинны, то истинно и высказывание а ® b. Но также ясно, что если проведение экспертизы не поручено двум экспертам и они не вправе совещаться между собой, то никакого противоречия не возникает. Поэтому импликация а ® b и в этом случае истинна. Единственным вариантом, когда импликация а ® b ложна, является истинность высказывания а и ложность высказывания b.
В предложениях естественного языка условие не всегда предшествуют заключению. Например, условие высказывания «Граждане совершают преступные деяния, если они имеют мотив для совершения преступления» – его вторая часть, а заключение – первая.
Союз «если …, то …» во многих случаях несёт и дополнительную смысловую нагрузку – выражает связь между положениями дел, при которой одно из них обусловливает другое. Например, в приведённом только что высказывании не просто констатируется отсутствие такой ситуации, что у граждан имеется мотив для совершения преступления, а они не совершают преступные деяния, но также указывается, что совершение гражданами преступления обусловлено фактом наличия у них соответствующего мотива.
Эквивалентностью двух высказываний а и b называется такое высказывание а «b, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания а и b либо истинны, либо оба ложны. Запись а «b читается так: «а тогда и только тогда, когда b », или «для того, чтобы а, необходимо и достаточно, чтобы b », «а эквивалентно b ».
Часто для обозначения эквивалентность применяют и другие знаки: «º », «~ ». Тогда запись а º b читается так: «а эквивалентно b ». Проиллюстрируем её на примере высказывания «Для того, чтобы привлечь ответчика к ответственности, необходимо и достаточно доказать его вину». Здесь высказывания а («ответчик привлекается к ответственности») и b («вина ответчика доказана»). Формулировка исходного высказывания включает в себя две импликации: 1) если ответчик привлекается к ответственности, то вина его доказана (импликация а ® b); 2) если вина ответчика доказана, то он привлекается к ответственности (обратная импликация b ® а, которая получается из а ® b перестановкой условия и заключения местами). В связи с этим эквивалентность иногда называют двойной импликацией.
Строгой (или исключающей) дизъюнкцией (или неэквивалентностью) двух высказываний а и b называется такое высказывание а ÚÚ b, которое истинно только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое – ложно[3]. Запись а ÚÚ b читается так: «или а, или b », «либо а, либо b) или «а исключает b ».