Важным направлением в исследовании закономерностей социально - экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Это можно осуществлять, применяя специальные методы прогнозирования.
Прогнозирование - это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определения. Существует много методов прогнозирования, среди которых можно выделить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.
Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:
- выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качественных особенностей;
- измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.
На практике наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются:
• укрупнение интервалов;
• сглаживание скользящей средней;
• аналитическое выравнивание.
Метод укрупнения интервалов применяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. Главное в этом методе заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов.
Для статистического изучения тренда применяется сглаживание методом скользящей средней. В основу этого метода положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде плановой линии.
Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тренд для его описания, но получать обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решение задачи - измерения тренда - достигается методом аналитического выравнивания.
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития Yt рассчитывается как функция времени: Yti = f(ti)
Определение теоретических уровней Yt производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.
Различают следующие типы развития социально-экономических явлений во времени:
- равномерное развитие. Для этого типа динамики присущи постоянные абсолютные приросты: Yt = Cоnst
Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции: Yt = а + bt,
где а и b - параметры уравнения; t - обозначение времени.
- равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста: Тпр = const
Основная тенденция в рядах динамики со стабильными темпами отображается функцией параболы второго порядка: Y = а + bt + сt2
Значение параметров а и b идентичны параметрам, используемым в предыдущей функции. Параметр с характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени).
- развитие с переменным ускорением. Для этого типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:
Yt=a+bt+ct2+dt3
В данном уравнении параметр d отображает изменение ускорения.
- развитие по экспоненте. Этот тип динамики характеризует стабильные темпы роста:
Тр = const
Основная тенденция в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией х:
Yt = ab,
где а - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, то есть интенсивность развития.
- развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики: Yц 0
Основная тенденция развития в таких рядах динамики выражается полулогарифмической функцией:
Yt = а + blgt
При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции. Наносим точки на графики и по виду графика принимаем гипотезу, что модель описывается линейной зависимостью:
Y=a+bx
Для расчёта параметров модели используем метод наименьших квадратов (МНК), т.е. minΣеi2. Расчёты производятся при помощи табличного редактора Excel по приведённым ниже формулам.
Система нормальных уравнений
na+bå х =åy
aå х+bå х2=å ух
При åx=0 система упростится и примет вид
na=å y
bå х2=å ух
Каждое уравнение в этом случае решается самостоятельно
a=å y/n
b =å ух/å х2
Имеются данные о выручке от реализации продукции предприятия за 10 лет. В таблице 20 рассчитаны необходимые для решения системы уравнений суммы å у, åх, å ух, å х2. Годы последовательно обозначены как 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, n=10.
Подставляя полученные суммы в систему уравнений
10 a + 36 b= 482478
36 a + 204b= 2134583
получаем a = 64227,75 и b= -870,667 х.
Отсюда искомое уравнение тренда: y = 64227,75 - 870,667 x.
Подставляя в это уравнение значения х: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 находим выровненные (теоретические) значения y. На рис. 4 изображены графики фактических и выровненных значений. Рассчитывается прогноз по полученному уравнению на ближайший период при условии сохранения изменения выручки от реализации продукции линейной закономерности.
Вторая задача – оценить практическую значимость уравнения. Для этого рассчитывается коэффициент корреляции и оценивается его значимость, которая основана на сопоставлении значения коэффициента корреляции с его средней квадратической ошибкой при n<30 значимость коэффициента корреляции проверяется на основе по t- критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается фактическое значение критерия и сопоставляется с табличным (Г.Л. Громыко «Теория статистики»). Для числа степеней свободы v = n-2 и заданного уровня значимости (обычно a=0,05).
Если t фактическое больше t, r считается значимым, а связь реальной. Если t фактическое меньше t табличного, то считается, что связь между x и y отсутствует и значение r, отличное от нуля, получено случайно.
Коэффициенты регрессии
b=(yx)ср-уср*хср/(х2)ср*(x ср) 2
a= уср-bxср
Оценка коэффициентов.
Коэффициенты корреляции Kxy=(yx)ср-хср.*уср./sх*sу
Критерий Снедекера Fф= K2xy*(n-2)
Коэффициент детерминации: r2=å (y x-уср) 2/ =å (y-уср) 2
Оценка значимости коэффициентов регрессии a, b и rxy по t- критерию Стьюдента.
t b = b/mb
t a = a/ma
t r = Rxy/mr
Случайные ошибки a, b и Rxy
mb = Öå(у- y x) 2/ (n-2)/ å(х- хср)2
ma = Öå(у- y x) 2/ (n-2) *å(х)2/nå(х- хср)2
mrxy = Ö1- K2xy / (n-2)
Предельные ошибки a, b и Rxy
Δa = Ттаб* ma
Δb = Ттаб* mb
Доверительные интервалы для определенных параметров
Lamin =a-Ña
Lamax =a+Ña
Lbmin =b-Ñb
Lbmax =b+Ñb
Средняя стандартная ошибка прогноза
myp =sост Ö1+1/n+(хp- хср)2/å(х- хср)2
Доверительный интервал L
диапазон прогноза
Lymin =Yp-Ñ Yp
Lymax =Yp+Ñ Yp
Δ Yp= Tтаб * myp
Таблица